Question

2.Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72 корней из 3 см2 3.

Answer 1

Площадь правильного шестиугольника состоит из площади 6 равносторонних треугольников, сторона которого равна радиусу описанной окружности. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S= \frac{ a^{2} \sqrt{3}}{4}$ и  равна $72 \sqrt{3}:6=12 \sqrt{3}; R=a_{3}= \sqrt{4S : \sqrt{3} }= \sqrt{48}=4 \sqrt{3};$
Длина окружности $C=\pi d= \pi *8 \sqrt{3}=8 \sqrt{3} \pi ;$

Answer 2

Длина стороны вписаного в окружность правильного шестиугольника равняется радиусу этой окружности.
Если сторона а, а=R
правильный 6 угольник состоит из 6 правильных треугольников, а для них мы имеем
высота $h=\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}a;$
тогда площадь:$S_3=\frac12\cdot a\cdot h=\frac12\cdot a\cdot \frac{\sqrt3}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2;$
тогда для 6-угольника имеем$S_6=6\cdot S_3=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}a^2$
помним, что а=R

$S_6=\frac{3\sqrt3}{2}R^2;\\ L=2\pi R;\\ R=\sqrt{\frac{S_6\cdot2}{3\sqrt3}};\\ L=2\pi \sqrt{\frac{S_6 2}{3\sqrt3}};\\ S_6=72\sqrt3;\\ L=2\pi\sqrt{\frac{72\sqrt3\cdot2}{3\sqrt3}}=2\pi\sqrt{24\cdot2}=2\pi\cdot\sqrt{48}=2\pi\cdot\sqrt{16\cdot3}=2\pi\cdot4\sqrt3=\\ =8\pi\sqrt{3}.$
$8\pi\sqrt3\approx 8\cdot3,14\cdot1,73=43,51 L\approx43,51$ cм