Question

исследовать функцию и построить ее график x^4-5x^2+4

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 начнем с построения ее графика.

Для этого построим таблицу значений, подставляя различные значения x и находя соответствующие значения функции:

x | f(x) ------- -2 | 4 -1 | 8 0 | 4 1 | 0 2 | 12 3 | 52

Теперь построим график функции, отмечая найденные точки на координатной плоскости и соединяя их гладкой кривой:

| 52 /\ | / 12 / \ | / \ | / \ | / \ | / \ |_/____________\___ -2 -1 0 1 2 3

Теперь приступим к исследованию функции.

1. Нули функции: Уравнение f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 = 0 можно решить с помощью факторизации и метода полного квадрата: x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0. Таким образом, нули функции f(x) равны x = ±1 и x = ±2.

2. Определение области значений: Поскольку x^4 всегда неотрицательно, а -5x^2 всегда отрицательно (при x ≠ 0), то f(x) имеет минимальное значение 4, когда x = 0, и принимает все значения больше этого значения.

3. Поведение функции на интервалах:

На интервале (-∞, -2): функция f(x) положительна, так как каждый множитель x^2 - 1 и x^2 - 4 положителен на данном интервале.

На интервале (-2, -1): функция f(x) отрицательна, так как x^2 - 4 положительно, а x^2 - 1 отрицательно на этом интервале.

На интервале (-1, 1): функция f(x) положительна, так как каждый множитель положителен на этом интервале.

На интервале (1, 2): функция f(x) отрицательна, так как x^2 - 1 положительно, а x^2 - 4 отрицательно на данном интервале.

На интервале (2, +∞): функция f(x) положительна, так как каждый множитель x^2 - 1 и x^2 - 4 положителен на данном интервале.

4. Поведение функции в точках разрыва: Функция f(x) имеет разрывы в точках x = -2, -1, 1 и 2. В этих точках функция не определена или принимает значение ∞.

5. Четность функции: Функция f(x) является четной, так как все множители вида (x^2 - a) являются четными функциями.

6. Производные функции: f'(x) = 4x^3 - 10x f''(x) = 12x^2 - 10

Знак первой производной можно найти, приравнивая ее к нулю и проверяя знаки на интервалах: 4x^3 - 10x = 0 2x(2x^2 - 5) = 0 x = 0 или x = ±√(5/2)

Знак второй производной можно найти, приравнивая ее к нулю и проверяя знаки на интервалах: 12x^2 - 10 = 0 x^2 = 10/12 = 5/6 x = ±√(5/6)

Итак, функция f(x) имеет экстремумы в точках x = 0 и x = ±√(5/2) и точки перегиба в точках x = ±√(5/6).

7. Поведение функции на интервалах между экстремумами и точками перегиба:

На интервале (-∞, -√(5/2)): функция f(x) убывает, так как f'(x) < 0 на данном интервале.

На интервале (-√(5/2), 0): функция f(x) возрастает, так как f'(x) > 0 на этом интервале.

На интервале (0, √(5/2)): функция f(x) убывает, так как f'(x) < 0 на данном интервале.

На интервале (√(5/2), +∞): функция f(x) возрастает, так как f'(x) > 0 на этом интервале.

Вот подробное исследование функции f(x) = x^4 - 5x^2 + 4. Включая построение графика, найдение нулей, области значений, поведения функции на интервалах, в точках разрыва, а также четность функции и производные.