Question

Найти одну из первообразных функции f(x) = 2/x^3 + 4 cosx

Answer 1

F(x) = 1/2 x^4 + 4 sinx

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функцию f(x) = 2/x^3 + 4cos(x), мы можем использовать метод интегрирования по частям и таблицу стандартных интегралов.

Используя метод интегрирования по частям, мы можем представить f(x) в виде произведения двух функций: u(x) и v'(x). Затем мы применяем формулу интегрирования по частям:

∫ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x) dx.

Для нашей функции f(x) = 2/x^3 + 4cos(x), мы выбираем u(x) = 4cos(x) и v'(x) = 2/x^3. Тогда u'(x) = -4sin(x) и v(x) = -1/x^2. Заменим в формуле интегрирования по частям:

∫ (2/x^3) * (4cos(x)) dx = (4cos(x)) * (-1/x^2) - ∫ (-1/x^2) * (-4sin(x)) dx.

Упростим это выражение:

= -4cos(x)/x^2 + 4∫ sin(x)/x^2 dx.

Исследуем второе слагаемое, ∫ sin(x)/x^2 dx. Этот интеграл не имеет простого аналитического решения, но он имеет специальное имя - интеграл Си (Si(x)). Таким образом, мы можем записать:

∫ sin(x)/x^2 dx = Si(x) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем записать полную первообразную функцию:

∫ (2/x^3 + 4cos(x)) dx = -4cos(x)/x^2 + 4Si(x) + C.

Таким образом, первообразная функция f(x) = 2/x^3 + 4cos(x) равна -4cos(x)/x^2 + 4Si(x) + C, где Si(x) - интеграл Си, а C - постоянная интегрирования.