Question

Решить диффуры

Answer 1

$[z=\dfrac{y}{x}=>z'=\dfrac{y'x-y}{x^2}=>y'=z'x+z]\\ (z'x^2)^2=(z'x+z)^2-2z(z'x+z)+1\\ z'^2x^4=z'^2x^2-z^2+1\\ z'^2=\dfrac{1-z^2}{x^4-x^2}=>z'=\pm\sqrt{\dfrac{1-z^2}{x^4-x^2}}\\ \int \dfrac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=\pm \int \dfrac{dx}{\sqrt{x^4-x^2}}\:\:\:(*)\\ arcsinz=\pm arctg\sqrt{x^2-1}+C_1\\ z=\pm sin(arctg\sqrt{x^2-1}+C)\\ y=\pm x\cdot sin(arctg\sqrt{x^2-1}+C)$

_________________________________________

$(*)\:\:\:\:\:\:\pm \int \dfrac{dx}{\sqrt{x^4-x^2}}=[\sqrt{x^2-1}=t=>dt=\dfrac{xdx}{\sqrt{x^2-1}}]=\pm\int\dfrac{dt}{t^2+1}=\pm arctgt+C=\pm arctg\sqrt{x^2-1}+C$

Answer 2

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить порядок дифференциального уравнения - это показатель старшей производной, которая присутствует в уравнении. 2. Отдельно выделить все общие и разделяющиеся переменные в уравнении. 3. Разделить уравнение на каждую переменную или преобразовать его таким образом, чтобы переменные были отдельно. 4. Решить полученные дифференциальные уравнения методами интегрирования.

Например, рассмотрим простое дифференциальное уравнение первого порядка:

dy/dx = x^2 + 2x

1. Порядок уравнения - первый (так как присутствует только одна производная dy/dx). 2. Выделяем разделяющиеся переменные: dy = (x^2 + 2x) dx. 3. Разделяем переменные: dy / (x^2 + 2x) = dx. 4. Интегрируем обе части уравнения: ∫dy / (x^2 + 2x) = ∫dx.

Левую часть можно преобразовать при помощи дробно-рациональных функций или заменой переменной. Допустим, мы используем замену переменной u = x^2 + 2x + 1. Тогда dy = du / (2 * sqrt(u)).

Исходное уравнение преобразуется следующим образом: ∫du / (2 * sqrt(u)) = ∫dx.

Интегрируем обе части: sqrt(u) = x + C,

где С - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: sqrt(x^2 + 2x + 1) = x + C.

Следовательно, решением данного дифференциального уравнения является функция: y = sqrt(x^2 + 2x + 1) - C.

Это единственное решение данного дифференциального уравнения первого порядка.