Question

Докажите, что:б) 10^5 + 5^7 делится на 19г) 72^2 + 6^5 делится на 30​

Answer 1

${(5 \times 2)}^{5} + {5}^{7} = \\ = {5}^{5} ( {2}^{5} + {5}^{2} ) = {5}^{5} \times 57 \\ \frac{ {5}^{5} \times 57 }{19} = {5}^{5} \times 3$
${(9 \times 8)}^{2} + {(2 \times 3)}^{5} = \\ = {3}^{4} \times {2}^{6} + {2}^{5} \times {3}^{5} = {3}^{4} \times {2}^{5} (2 + 3) \\ \frac{ {3}^{4} {2}^{5} 5 }{3 \times 2 \times 5}$

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение \(10^5 + 5^7\) делится на 19 и выражение \(72^2 + 6^5\) делится на 30, мы можем использовать свойства арифметики и остатки от деления.

Деление на 19:

Начнем с выражения \(10^5 + 5^7\). Мы можем использовать малую теорему Ферма, которая гласит, что если \(p\) - простое число и \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\). В данном случае, \(p = 19\), а \(a = 10\) и \(a = 5\). Мы можем использовать эту теорему, чтобы упростить выражение.

* Для \(a = 10\): \(10^{19-1} \equiv 1 \mod 19\) \(10^{18} \equiv 1 \mod 19\)

* Для \(a = 5\): \(5^{19-1} \equiv 1 \mod 19\) \(5^{18} \equiv 1 \mod 19\)

Теперь мы можем выразить \(10^5 + 5^7\) через остатки от деления на 19:

\(10^5 + 5^7 \equiv 10^{18} \cdot 10^5 + 5^{18} \cdot 5^7 \equiv 1 \cdot 10^5 + 1 \cdot 5^7 \equiv 10^5 + 5^7 \mod 19\)

Таким образом, мы видим, что \(10^5 + 5^7\) имеет тот же остаток от деления на 19, что и \(10^5 + 5^7\), а именно 0. Значит, \(10^5 + 5^7\) делится на 19.

Деление на 30:

Теперь р