Question

Решите неравенство: (3x - 2)(x+3) > 0; x(x - 2)(3 - x) <= 0

Answer 1

1)  $(3x-2)(x+3)\ \textgreater \ 0 \\ x= \frac{2}{3} ,x=-3$
Наносим найденные корни на прямую, рисуем интервалы
Получаются знаки   $+-+$.

Ответ: $x$ ∈ $(-$беск.$;-3)$ U $( \frac{2}{3} ;+$беск.$)$

2) $x(x-2)(3-x) \leq 0 \\ x=0,x=2,x=3$
Аналогично с предыдущим неравенством
Знаки будут  $+-+-$

Ответ: $x$ ∈ $[0;2]$ U $[3;+$беск.$)$

Answer 2

Давайте решим неравенство шаг за шагом.

Неравенство 1: (3x - 2)(x + 3) > 0

Для решения этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем значения x, при которых выражение (3x - 2)(x + 3) равно нулю:

(3x - 2)(x + 3) = 0

Так как произведение равно нулю, то мы можем записать два уравнения:

3x - 2 = 0 или x + 3 = 0

Решим первое уравнение:

3x - 2 = 0 3x = 2 x = 2/3

Решим второе уравнение:

x + 3 = 0 x = -3

Теперь мы можем построить таблицу интервалов и определить знак выражения (3x - 2)(x + 3) в каждом интервале:

        |      -3      |   2/3   |
--------|-------------|---------|--------
3x - 2  |      -       |    +    |
x + 3   |      -       |    +    |
--------|-------------|---------|--------

Из таблицы мы видим, что выражение (3x - 2)(x + 3) положительно на интервалах (-∞, -3) и (2/3, +∞).

Теперь найдем значения x, при которых выражение (x - 2)(3 - x) меньше или равно нулю:

Выражение (x - 2)(3 - x) будет меньше или равно нулю, когда один из множителей положителен, а другой отрицателен. Мы можем записать два уравнения:

x - 2 = 0 или 3 - x = 0

Решим первое уравнение:

x - 2 = 0 x = 2

Решим второе уравнение:

3 - x = 0 x = 3

Теперь мы можем построить таблицу интервалов и определить знак выражения (x - 2)(3 - x) в каждом интервале:

        |      2      |   3   |
--------|-------------|-------|--------
x - 2   |      -       |   +   |
3 - x   |      +       |   -   |
--------|-------------|-------|--------

Из таблицы мы видим, что выражение (x - 2)(3 - x) меньше или равно нулю на интервалах (-∞, 2] и [3, +∞).

Теперь объединим результаты двух неравенств:

(3x - 2)(x + 3) > 0 и (x - 2)(3 - x) <= 0

Чтобы найти интервалы, в которых оба неравенства выполняются одновременно, мы можем использовать правило знаков. Вертикально умножим знаки в каждом интервале:

        |      -3      |   2/3   |   2   |   3   |
--------|-------------|---------|-------|-------|--------
3x - 2  |      -       |    +    |   +   |   +   |
x + 3   |      -       |    +    |   -   |   -   |
x - 2   |      -       |    -    |   -   |   +   |
3 - x   |      +       |    +    |   +   |   -   |
--------|-------------|---------|-------|-------|--------

Из таблицы мы видим, что оба неравенства выполняются на интервалах (-∞, -3) и (2, 3].

Итак, решением исходного неравенства (3x - 2)(x + 3) > 0 и x(x - 2)(3 - x) <= 0 является объединение интервалов (-∞, -3) и (2, 3].