Question

НУЖНА ПОМОЩЬ! Решить квадратное неравенство: 1)-6х²-х+12>0 2)-3х²-6х+45<0

Answer 1

......................

Answer 2

Решение квадратного неравенства:

1) $-6x^2 - x + 12 > 0$

2) $-3x^2 - 6x + 45 < 0$

Давайте решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства: $-6x^2 - x + 12 > 0$

Для начала, давайте найдем корни квадратного уравнения $-6x^2 - x + 12 = 0$. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней:

Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В данном случае у нас есть квадратное уравнение $-6x^2 - x + 12 = 0$, где $a = -6$, $b = -1$ и $c = 12$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4(-6)(12) = 1 + 288 = 289$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), у нас есть два различных корня. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения в формулу:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2(-6)} = \frac{1 + 17}{-12} = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2(-6)} = \frac{1 - 17}{-12} = \frac{-16}{-12} = \frac{4}{3}$

Теперь, чтобы решить неравенство $-6x^2 - x + 12 > 0$, мы должны определить, в каких интервалах значение $x$ удовлетворяет неравенству. Мы можем использовать метод интервалов:

- Поставим вершины корней на числовой оси: $-\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$. - Выберем произвольные точки в каждом интервале и проверим, является ли неравенство истинным.

Возьмем, например, точку $x = 0$. Подставим ее в неравенство:

$-6(0)^2 - 0 + 12 > 0$

$0 + 12 > 0$

$12 > 0$

Это верно, поэтому интервал $(-\infty, -\frac{3}{2})$ удовлетворяет неравенству.

Возьмем следующую точку $x = -1$. Подставим ее в неравенство:

$-6(-1)^2 - (-1) + 12 > 0$

$-6 + 1 + 12 > 0$

$7 + 12 > 0$

$19 > 0$

Это также верно, поэтому интервал $(-\frac{3}{2}, \frac{4}{3})$ также удовлетворяет неравенству.

Возьмем последнюю точку $x = 2$. Подставим ее в неравенство:

$-6(2)^2 - 2 + 12 > 0$

$-24 - 2 + 12 > 0$

$-14 > 0$

Это ложное утверждение, поэтому интервал $(\frac{4}{3}, \infty)$ не удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решение первого неравенства $-6x^2 - x + 12 > 0$ - это интервал $(-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, \frac{4}{3})$.

Решение второго неравенства: $-3x^2 - 6x + 45 < 0$

Для начала, давайте найдем корни квадратного уравнения $-3x^2 - 6x + 45 = 0$. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней:

$D = b^2 - 4ac$. В данном случае у нас есть квадратное уравнение $-3x^2 - 6x + 45 = 0$, где $a = -3$, $b = -6$ и $c = 45$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4(-3)(45) = 36 + 540 = 576$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), у нас есть два различных корня. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения в формулу:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{576}}{2(-3)} = \frac{6 + 24}{-6} = -\frac{30}{6} = -5$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{576}}{2(-3)} = \frac{6 - 24}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$

Теперь, чтобы решить неравенство $-3x^2 - 6x + 45 < 0$, мы должны определить, в каких интервалах значение $x$ удовлетворяет неравенству. Мы можем использовать метод интервалов:

- Поставим вершины корней на числовой оси: $-5$ и $3$. - Выберем произвольные точки в каждом интервале и проверим, является ли неравенство истинным.

Возьмем, например, точку $x = 0$. Подставим ее в неравенство:

$-3(0)^2 - 6(0) + 45 < 0$

$0 - 0 + 45 < 0$

$45 < 0$

Это ложное утверждение, поэтому интервал $(-\infty, -5)$ не удовлетворяет неравенству.

Возьмем следующую точку $x = -4$. Подставим ее в неравенство:

$-3(-4)^2 - 6(-4) + 45 < 0$

$-3(16) + 24 + 45 < 0$

$-48 + 24 + 45 < 0$

$21 < 0$

Это также ложное утверждение, поэтому интервал $(-5, 3)$ также не удовлетворяет неравенству.

Возьмем последнюю точку $x = 4$. Подставим ее в неравенство:

$-3(4)^2 - 6(4) + 45 < 0$

$-3(16) - 24 + 45 < 0$

$-48 - 24 + 45 < 0$

$-27 < 0$

Это верно, поэтому интервал $(3, \infty)$ удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решение второго неравенства $-3x^2 - 6x + 45 < 0$ - это интервал $(3, \infty)$.