Question

Помогите Докожите, что: А) если a+b+c=0, то a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=3abc Б) если ab+ac+bc=0, то a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2+b^2+c^2

Answer 1

Ого...................

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди.

Утверждение А:

Если \(a + b + c = 0\), то нужно доказать, что \[a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc.\]

Давайте начнем с левой стороны уравнения: \[LHS = a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1).\]

Раскроем скобки: \[LHS = abc - a + abc - b + abc - c.\]

Теперь объединим подобные слагаемые: \[LHS = 3abc - (a + b + c).\]

Учитывая, что \(a + b + c = 0\) по условию, мы получаем: \[LHS = 3abc.\]

Таким образом, левая сторона уравнения действительно равна \(3abc\), что и требовалось доказать.

Утверждение Б:

Если \(ab + ac + bc = 0\), то нужно доказать, что \[a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2.\]

Давайте начнем с левой стороны уравнения: \[LHS = a(a - b) + b(b - c) + c(c - a).\]

Раскроем скобки: \[LHS = a^2 - ab + b^2 - bc + c^2 - ac.\]

Теперь объединим подобные слагаемые: \[LHS = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + ac + bc).\]

Учитывая, что \(ab + ac + bc = 0\) по условию, мы получаем: \[LHS = a^2 + b^2 + c^2.\]

Таким образом, левая сторона уравнения действительно равна \(a^2 + b^2 + c^2\), что и требовалось доказать.

Оба факта доказаны.