Question

Какое наибольшее значение принимает выражение x+y, если пара чисел (x:y) является решением системы уравнений x - y = 5 x2 + 2xy - y2 = -7?

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{x-y=5~~~~~~~~~~~~~} \atop {x^2+2xy-y^2=-7}} \right. ;~~~~ \left \{ {{x=y+5~~~~~~~~~~~~~~} \atop {(x+y)^2-2y^2=-7}} \right. \\ \\ \\ (2y+5)^2-2y^2=-7\\ \\ 4y^2+20y+25-2y^2=-7\\ \\ 2y^2+20y+32=0\\\\ y^2+10y+16=0\\ \\ y_1=-8;~~~~ y_2=-2\\ \\ x_1=y_1+5=-8+5=-3\\ \\ x_2=y_2+5=-2+5=3$

Сумма: x+y=3-2=1

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения x + y, нужно найти наибольшее значение x и y, которые являются решением системы уравнений.

Сначала решим систему уравнений: 1) x - y = 5 (уравнение 1) 2) x^2 + 2xy - y^2 = -7 (уравнение 2)

Из уравнения 1 можно выразить x через y: x = y + 5

Подставим это выражение в уравнение 2: (y + 5)^2 + 2(y + 5)y - y^2 = -7

Раскроем скобки и упростим уравнение: y^2 + 10y + 25 + 2y^2 + 10y - y^2 = -7 2y^2 + 20y + 25 = -7 2y^2 + 20y + 32 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 * 2 * 32 = 400 - 256 = 144

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня: y1 = (-b + √D) / (2a) = (-20 + √144) / (2 * 2) = (-20 + 12) / 4 = -8 / 4 = -2 y2 = (-b - √D) / (2a) = (-20 - √144) / (2 * 2) = (-20 - 12) / 4 = -32 / 4 = -8

Подставим найденные значения y в уравнение 1, чтобы найти соответствующие значения x: x1 = -2 + 5 = 3 x2 = -8 + 5 = -3

Таким образом, имеем две пары решений системы уравнений: (x1, y1) = (3, -2) и (x2, y2) = (-3, -8).

Вычислим значения выражения x + y для каждой пары: x1 + y1 = 3 + (-2) = 1 x2 + y2 = -3 + (-8) = -11

Наибольшее значение выражения x + y равно 1.