Question

Найти предел lim (n стремится к бесконечности)дробь,в числителе (n+2)во 2 степени, - (n-2) во 2 степени; в знаменателе (n+3) в 2 степени

Answer 1

Надо упростить дробь
В числителе (n+2)²-(n-2)²=(n+2 - (n-2) ) ·  (n+2 +n-2)=4·2n
Знаменатель можно оставить прежним.
Разделим дробь на n²

В числителе останется 8/n    - это бесконечно малая величина при n стремящемся к бесконечности. Поэтому в пределе она равна 0
в Знамнателе (n+3)/n    = 1+3/n
  стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности
ответ 0

Answer 2

Чтобы найти предел lim (n стремится к бесконечности) [(n+2)^2 - (n-2)^2] / (n+3)^2, можно применить правило Лопиталя, которое говорит о том, что если предел отношения двух функций существует и равен 0/0 или бесконечность/бесконечность, то предел этого отношения равен пределу отношения производных данных функций.

Для начала найдем производную числителя и знаменателя. Производная числителя: d/dn [(n+2)^2 - (n-2)^2] = d/dn [n^2 + 4n + 4 - (n^2 - 4n + 4)] = d/dn [8n] = 8.

Производная знаменателя: d/dn (n+3)^2 = d/dn [n^2 + 6n + 9] = 2n + 6.

Теперь найдем предел отношения данных производных при n стремящемся к бесконечности: lim (n стремится к бесконечности) (8 / (2n + 6)).

В данном случае предел равен 4 / (n + 3). При n, стремящемся к бесконечности, знаменатель также стремится к бесконечности, поэтому предел данного выражения равен 0.

Таким образом, предел lim (n стремится к бесконечности) [(n+2)^2 - (n-2)^2] / (n+3)^2 равен 0.