Question

помогите решить уравнение sin 2x + 2 ctg x = 3

Answer 1

Методом универсальной подстановки переходим от синуса к тангенсу. Приводим к общему знаменателю, перебрасываем в одну часть, помня, что tgx*ctgx=1 переходим непосредственно к тангенсу. Заменяем tgx=a , подбором находим 1 корень и делим. Получается квадратное уравнение с дискриминантом меньше 0. Значит корень 1.

 

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[ \sin(2x) + 2 \cot(x) = 3 \]

Для удобства, давайте выразим \(\cot(x)\) через тангенс, так как \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). Также, можно выразить \(\sin(2x)\) через базовые тригонометрические функции:

\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

\[ 2 \sin(x) \cos(x) + \frac{2}{\tan(x)} = 3 \]

Умножим обе стороны на \(\tan(x)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 2 \sin(x) \cos(x) \tan(x) + 2 = 3 \tan(x) \]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Подставим это в уравнение:

\[ 2 \sin(x) \cos(x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + 2 = 3 \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Упростим:

\[ 2 \sin^2(x) + 2 \cos(x) = 3 \sin(x) \]

Теперь преобразуем все тригонометрические функции в термины одной переменной, например, \(\sin(x)\):

\[ 2 (1 - \cos^2(x)) + 2 \cos(x) = 3 \sin(x) \]

Раскроем скобки:

\[ 2 - 2\cos^2(x) + 2\cos(x) = 3 \sin(x) \]

Теперь, мы видим квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[ 2\cos^2(x) - 2\cos(x) + (1 - 2) = 0 \]

Упростим:

\[ 2\cos^2(x) - 2\cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь решим это уравнение относительно \(\cos(x)\). Для этого воспользуемся квадратным уравнением:

\[ \cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 2\), \(b = -2\), и \(c = -1\). Подставим значения:

\[ \cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \]

\[ \cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \]

Теперь у нас есть два значения \(\cos(x)\). Далее, можно использовать обратные тригонометрические функции, такие как \(\arccos\), чтобы найти значения \(x\).

\[ x = \arccos\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right) \]

или

\[ x = \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) \]

Обратите внимание, что эти значения могут быть в пределах \([0, 2\pi)\) или \([0^\circ, 360^\circ)\), в зависимости от того, в каких единицах измерения углов вы работаете.