Question

Сократите дробь 5^n-1+5^n+2/6*5^n

Answer 1

Давайте разберемся с выражением и попробуем его упростить.

Имеем дробь: \(\frac{5^n - 1}{6 \cdot 5^n + 2}\).

Мы можем попробовать упростить числитель и знаменатель отдельно.

Числитель: \(5^n - 1\).

Это разность степени пятерки и единицы. Мы можем представить это как разность квадрата и единицы: \(5^n - 1 = (5^n)^2 - 1^2\). Теперь у нас есть разность квадратов, которую мы можем упростить по формуле: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Применяя эту формулу, мы получаем:

\[5^n - 1 = (5^n + 1)(5^n - 1)\].

Теперь числитель упрощен.

Знаменатель: \(6 \cdot 5^n + 2\).

Это арифметическая последовательность, и мы можем выделить общий множитель 2:

\[2(3 \cdot 5^n + 1)\].

Теперь знаменатель упрощен.

Таким образом, наше исходное выражение примет вид:

\[\frac{5^n - 1}{6 \cdot 5^n + 2} = \frac{(5^n + 1)(5^n - 1)}{2(3 \cdot 5^n + 1)}\].

Теперь можно упростить дробь, сократив общие множители:

\[\frac{(5^n + 1)(5^n - 1)}{2(3 \cdot 5^n + 1)} = \frac{5^n + 1}{2}\].

Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\frac{5^n + 1}{2}\).