Question

Представьте многочлен х^4-3х^2+1 в виде произведения

Answer 1

Х4-3х2+1=0
у2=х
у4=х2
решаем с помошю дискреминанта
у2-3у+1=0
а=1 b=-3 c= 1
обичный дискреминат дальше сами

Answer 2

Давайте представим многочлен \(x^4 - 3x^2 + 1\) в виде произведения. Для этого мы можем воспользоваться факторизацией.

Обозначим \(y = x^2\), тогда многочлен примет вид \(y^2 - 3y + 1\). Теперь мы можем попробовать факторизовать этот квадратный трехчлен. Решим квадратное уравнение:

\[y^2 - 3y + 1 = 0\]

Применим квадратное уравнение:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = 1\). Подставим значения:

\[y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}\]

\[y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}\]

\[y = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Теперь у нас есть два корня \(y\):

\[y_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\]

\[y_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\]

Теперь вернемся к переменной \(x\), используя \(y = x^2\):

\[x^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\]

\[x^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\]

Теперь мы можем выразить \(x\) через эти корни:

\[x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\]

\[x = \pm \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\]

Таким образом, мы можем представить многочлен \(x^4 - 3x^2 + 1\) в виде произведения:

\[x^4 - 3x^2 + 1 = \left(x - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\right)\left(x + \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\right)\left(x - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\right)\left(x + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\right)\]