Question

нужно найти экстремумы функции y=x^3/3+x^2-3x+(5/3)

Answer 1

y' = 3*x²/3 + 2x - 3 = x² + 2x - 3

x² + 2x - 3 = 0

D = 4 + 12 = 16

x = (-2+-4)/2 = 1 или -3

1 и -3 критические точки. Обозначим их на числовой прямой и выясним, какие знаки имеет ф-ия y' на промежутках. 

Получается: [-∞;-3] U [1;∞] - y' имеет знак +

[-3;1] - y' имеет знак -

Значит в точке -3 y' переходит от + к -, точка -3 является экстремумом функции, причем xmax = -3

В точке 1 y' переходит от - к +, точка 1 является экстремумом функции, причем xmin = 1

Ответ: -3; 1 

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции \(y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}\), нужно найти её производные и решить уравнения, приравнивая производные к нулю.

1. Найдем первую производную: \[y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}\right)\]

\[y' = x^2 + 2x - 3\]

2. Теперь приравняем \(y'\) к нулю и решим уравнение: \[x^2 + 2x - 3 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с использованием квадратного корня или факторизации. Давайте воспользуемся факторизацией: \[(x + 3)(x - 1) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = -3\) и \(x = 1\).

3. Теперь найдем вторую производную: \[y'' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x - 3)\]

\[y'' = 2x + 2\]

4. Подставим найденные значения \(x\) (которые соответствуют точкам экстремума) во вторую производную, чтобы определить характер экстремума.

- Для \(x = -3\): \(y''(-3) = 2(-3) + 2 = -4 < 0\), что означает, что у нас есть максимум. - Для \(x = 1\): \(y''(1) = 2(1) + 2 = 4 > 0\), что означает, что у нас есть минимум.

Таким образом, функция \(y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}\) имеет максимум при \(x = -3\) и минимум при \(x = 1\). Мы также можем найти соответствующие значения функции \(y\) в этих точках, подставив их в исходную функцию.