Question

составить уравнение касательной к графику функции в точке x0 f(x)=x^3-4x^2+7x-28 в точке x0=1 f(x)=28*cos2x x0=(П/4) точка движется прямолинейно по закону s=60t-5t^2 .Через сколько времени после начала движения точка остановится?Найти путь пройденный точкой до остановки.

Answer 1

 

1) f(x)=x^3-4x^2+7x-28  в точке x0=1

 f'(x)=3x^2-8x+7

f'(1)=3*(1)^2-8*1+7=3-8+7=2

f(1)=(1)^3-4*(1)^2+7*1-28=1-4+7-28=-24

 

 

уравнение касательной находится по формуле y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)

  y=-24+2(x-1)=-24+2x-2=2x-22  у=2х-22

 

 

 

2)f(x)=28cos2x  в точке х0=п/4

 f'(x)=-28*2sin2x=-56sin2x

 f'(п/4)=-56*sin(2*п/4)=-56*sin(п/2)=-56*1=-56

f(п/4)= 28*cos(2*п/4)=28*cos(п/2)=28*0=0

 у=0-56(х-п/4)=-56х+14п

у=-56х+14п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции в точке x0, нам понадобятся знания о производной функции в этой точке. Первым шагом найдем производную функции f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x - 28.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции, нужно продифференцировать каждый член по отдельности. В данном случае, производная f'(x) будет равна:

f'(x) = d/dx (x^3) - d/dx (4x^2) + d/dx (7x) - d/dx (28)

Вычислим каждую производную:

f'(x) = 3x^2 - 8x + 7

Теперь, чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке x0, мы можем использовать формулу для уравнения прямой, где наклон (slope) будет равен производной функции в этой точке, а точка (x0, f(x0)) будет принадлежать этой прямой.

Составление уравнения касательной к графику функции в точке x0

Уравнение прямой имеет вид y = mx + b, где m - наклон (slope) и b - свободный член (y-перехват).

Заменим m на значение производной функции в точке x0 и подставим точку (x0, f(x0)):

f(x0) = m * x0 + b

Теперь подставим значения x0 и f(x0):

f(x0) = (3x0^2 - 8x0 + 7) * x0 + b

f(x0) = 3x0^3 - 8x0^2 + 7x0 + b

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x0 имеет вид:

f(x0) = 3x0^3 - 8x0^2 + 7x0 + b

Нахождение свободного члена b

Чтобы найти свободный член b, нам нужно использовать информацию о точке x0 и f(x0). Подставим эти значения в уравнение касательной:

f(x0) = 3x0^3 - 8x0^2 + 7x0 + b

Подставим x0=1 и f(x0)=28*cos(2*(П/4)):

28*cos(2*(П/4)) = 3(1)^3 - 8(1)^2 + 7(1) + b

28*cos(П/2) = 3 - 8 + 7 + b

28*0 = 2 + b

0 = 2 + b

b = -2

Теперь мы знаем значение свободного члена b, и окончательное уравнение касательной будет выглядеть следующим образом:

f(x0) = 3x0^3 - 8x0^2 + 7x0 - 2

Решение второй части задачи

Дано, что точка движется прямолинейно по закону s = 60t - 5t^2. Нам нужно найти время, через которое точка остановится, и путь, пройденный точкой до остановки.

Чтобы найти время, когда точка остановится, мы должны найти момент, когда скорость станет равной нулю. Скорость - это производная пути s по времени t.

Нахождение времени остановки точки

Для нахождения времени остановки, нужно найти такое t, при котором скорость равна нулю:

s'(t) = d/dt (60t - 5t^2) = 60 - 10t

Теперь приравняем скорость к нулю и решим уравнение:

60 - 10t = 0

10t = 60

t = 6

Таким образом, точка остановится через 6 единиц времени после начала движения.

Нахождение пройденного пути до остановки

Чтобы найти пройденный путь до остановки, необходимо подставить найденное время t=6 в уравнение для пути s:

s(t) = 60t - 5t^2

s(6) = 60(6) - 5(6)^2

s(6) = 360 - 5(36)

s(6) = 360 - 180

s(6) = 180

Таким образом, точка пройдет 180 единиц пути до остановки.

Итак, через 6 единиц времени после начала движения точка остановится, и путь, пройденный этой точкой до остановки, составит 180 единиц.