Question

2cos2x+cosx-1=0 решить уравнение пожалуйста

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Конечно, решим это уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение: \(2\cos(2x) + \cos(x) - 1 = 0\)

Давайте введем замену, чтобы упростить выражение. Пусть \(t = \cos(x)\), тогда наше уравнение примет вид:

\[2\cos(2x) + \cos(x) - 1 = 0\] \[2(2\cos^2(x) - 1) + \cos(x) - 1 = 0 \quad \text{(используем формулу двойного угла: }\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\text{)}\] \[4t^2 - 2 + t - 1 = 0\] \[4t^2 + t - 3 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулы корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

В нашем случае \(a = 4\), \(b = 1\), \(c = -3\).

\[D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\] \[t = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4}\] \[t = \frac{-1 \pm 7}{8}\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(t\):

1. \(t = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) 2. \(t = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1\)

Теперь мы можем вернуться к замене и найти значения \(x\) для \(t = \cos(x)\).

1. Когда \(t = \frac{3}{4}\): \(\cos(x) = \frac{3}{4}\)

2. Когда \(t = -1\): \(\cos(x) = -1\)

Теперь найдем значения \(x\) в области \(0 \leq x \leq 2\pi\) (один оборот):

1. Для \(\cos(x) = \frac{3}{4}\), соответствующий угол \(x\) будет таким, что \(\cos(x) = \frac{3}{4}\). Обычно это происходит на углах \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{5\pi}{3}\) в пределах одного оборота.

2. Для \(\cos(x) = -1\), соответствующий угол \(x\) равен \(\pi\).

Таким образом, решения уравнения \(2\cos(2x) + \cos(x) - 1 = 0\) в пределах \(0 \leq x \leq 2\pi\) это \(x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \pi\).