Question

ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО sin^2(альфа)(1+ctg^2(альфа))-cos^2=sin^2(альфа)

Answer 1

Sin²α(1+ctg²α)-cos²α=sin²α.1+sin²α.ctg²α-cos²α=
=sin²α+sin²α.cos²α/sin²α-cos²α=sin²α+cos²α-cos²α=sin²α

Answer 2

Давайте рассмотрим левую и правую части уравнения и попробуем доказать их тождество.

Левая часть уравнения: \[ \sin^2(\alpha)(1+\cot^2(\alpha)) - \cos^2(\alpha) \]

Используем тригонометрические тождества, чтобы упростить это выражение.

Тождество котангенса: \[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \]

Тождество тангенса: \[ \tan^2(\alpha) + 1 = \sec^2(\alpha) \]

Теперь подставим эти тождества в левую часть уравнения: \[ \sin^2(\alpha)\left(1 + \frac{1}{\tan^2(\alpha)}\right) - \cos^2(\alpha) \]

Далее упростим выражение: \[ \sin^2(\alpha)\left(\frac{\tan^2(\alpha) + 1}{\tan^2(\alpha)}\right) - \cos^2(\alpha) \]

Теперь используем тождество тангенса: \[ \sin^2(\alpha)\left(\frac{\sec^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)}\right) - \cos^2(\alpha) \]

Далее преобразуем выражение, заменив \(\sec^2(\alpha)\) как \(\tan^2(\alpha) + 1\): \[ \sin^2(\alpha)\left(\frac{\tan^2(\alpha) + 1}{\tan^2(\alpha)}\right) - \cos^2(\alpha) \]

Теперь упростим числитель: \[ \sin^2(\alpha)\left(\frac{\tan^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} + \frac{1}{\tan^2(\alpha)}\right) - \cos^2(\alpha) \]

\[ \sin^2(\alpha)\left(1 + \cot^2(\alpha)\right) - \cos^2(\alpha) \]

Таким образом, мы видим, что левая часть уравнения равна тождеству.

Таким образом, \[ \sin^2(\alpha)(1+\cot^2(\alpha)) - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) \]