Question

(x+y)²≥4xy Докажите не равенства

Answer 1

(x+y)² ≥ 4xy
(x+y)² - 4xy ≥ 0
x²+2xy+y²-4xy ≥ 0
x²-2xy+y² ≥ 0
(x-y)² ≥ 0 - верно, т.к. квадрат любого числа неотрицателен
Т.к. последнее неравенство получено из исходного неравенства путём равносильных преобразований, то верно и исходное неравенство.
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для начала, давайте разложим выражение (x+y)² по формуле квадрата суммы: (x+y)² = x² + 2xy + y²

Теперь, чтобы доказать неравенство (x+y)² ≥ 4xy, нам нужно сравнить правую и левую части выражения.

Левая часть неравенства:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Правая часть неравенства:

4xy

Чтобы доказать неравенство, мы можем использовать метод доказательства неравенства через противоположность. Другими словами, мы предположим, что неравенство не выполняется, а затем покажем, что это приводит к противоречию.

Предположим, что (x+y)² < 4xy. Тогда мы можем записать: x² + 2xy + y² < 4xy

Вычтем 4xy из обеих частей неравенства: x² - 2xy + y² < 0

Теперь мы можем переписать левую часть неравенства как квадрат разности: (x - y)² < 0

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому (x - y)² не может быть отрицательным. Это противоречит нашему предположению исходного неравенства.

Таким образом, мы доказали, что (x+y)² ≥ 4xy для любых значений x и y.

Итак, неравенство (x+y)² ≥ 4xy верно для всех x и y.