Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=\frac{x^2}{x+5} [/tex]

Answer 1

Минимальное значение при х=0 и равно нулю (числитель дроби равен нулю, знаменатель равен 5). Так как числитель всегда возрастает при движении от нулю в любую сторону (любое число  в квадрате всегда положительное), то наибольшее значение равно +∞.

Ответ: наименьшее =0, наибольшее равно +∞.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \(y = \frac{x^2}{x+5}\), мы можем воспользоваться производными. Для начала найдем производную функции по \(x\):

\[y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x+5}\right)\]

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного:

\[y' = \frac{(x+5)\cdot 2x - x^2 \cdot 1}{(x+5)^2}\]

Упростим числитель:

\[y' = \frac{2x^2 + 10x - x^2}{(x+5)^2}\]

\[y' = \frac{x^2 + 10x}{(x+5)^2}\]

Теперь найдем точки, где производная равна нулю, так как в этих точках функция может достигать экстремумов. Уравнение для этого:

\[x^2 + 10x = 0\]

Факторизуем:

\[x(x+10) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(x = 0\) и \(x = -10\).

Теперь найдем вторую производную:

\[y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 10x}{(x+5)^2}\right)\]

Вновь воспользуемся правилом дифференцирования частного:

\[y'' = \frac{[(x+5)^2 \cdot 2x + (x^2 + 10x) \cdot 2(x+5)] - 2 \cdot (x^2 + 10x) \cdot 2(x+5)}{(x+5)^4}\]

Упростим выражение:

\[y'' = \frac{2x(x+5)^2 + 2x(x^2 + 10x) - 4(x^2 + 10x)(x+5)}{(x+5)^4}\]

\[y'' = \frac{2x(x+5)[(x+5) + x - 2(x+5)]}{(x+5)^4}\]

\[y'' = \frac{2x(x+5)(-x-5)}{(x+5)^4}\]

\[y'' = -\frac{2x(x+5)}{(x+5)^3}\]

Теперь подставим найденные значения \(x = 0\) и \(x = -10\) во вторую производную:

Для \(x = 0\):

\[y''(0) = 0\]

Для \(x = -10\):

\[y''(-10) = -\frac{2(-10)(-10+5)}{(-10+5)^3} = -\frac{2(-10)(-5)}{(-5)^3} = -\frac{100}{-125} = \frac{4}{5}\]

Так как \(y''(-10) > 0\), это означает, что в точке \(x = -10\) у функции \(y\) есть локальный минимум. Так как \(y''(0) = 0\), нам не удается определить характер точки \(x = 0\) с использованием второй производной.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на бесконечностях:

1. \(x = 0\):

\[y(0) = \frac{0^2}{0+5} = 0\]

2. \(x = -10\):

\[y(-10) = \frac{(-10)^2}{-10+5} = \frac{100}{-5} = -20\]

Таким образом, наименьшее значение функции равно \(-20\) и достигается в точке \(x = -10\), а наибольшее значение функции не ограничено (так как при \(x = 0\) функция принимает значение \(0\) и стремится к бесконечности при \(x \to -5\)).

Answer 3

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = \frac{x^2}{x+5} \), нужно рассмотреть её поведение в пределах области определения.

Функция имеет ограничение в области определения, которое проистекает из знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x + 5 \neq 0 \), отсюда \( x \neq -5 \). Таким образом, областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме -5.

Теперь найдем производную функции \( y \) по \( x \) и приравняем её к нулю для поиска критических точек:

\[ y = \frac{x^2}{x+5} \]

\[ y' = \frac{(x+5) \cdot 2x - x^2 \cdot 1}{(x+5)^2} \]

\[ y' = \frac{2x^2 + 10x - x^2}{(x+5)^2} \]

\[ y' = \frac{x^2 + 10x}{(x+5)^2} \]

Теперь приравняем производную к нулю:

\[ x^2 + 10x = 0 \]

\[ x(x + 10) = 0 \]

Отсюда получаем два значения \( x = 0 \) и \( x = -10 \). Однако, как мы отметили ранее, \( x \) не может быть равен -5. Поэтому, критической точкой является \( x = 0 \).

Теперь анализируем поведение функции в окрестности найденной критической точки:

1. При \( x < 0 \) функция \( y' > 0 \), значит, функция возрастает. 2. При \( 0 < x < -5 \) функция \( y' < 0 \), значит, функция убывает. 3. При \( x > -5 \) функция \( y' > 0 \), значит, функция возрастает.

Таким образом, при \( x = 0 \) функция достигает минимального значения, а при \( x \to -\infty \) и \( x \to +\infty \) она стремится к положительной бесконечности.

Таким образом, наименьшее значение функции равно \( y(0) = \frac{0^2}{0+5} = 0 \), а наибольшего значения функции нет, так как функция стремится к бесконечности при \( x \to -5 \) и \( x \to +\infty \).