Question

Помогите решить x^2/2 < 2x+2/3

Answer 1

X²<2(2x+2/3)
x²<4x+4/3
x²-4x-4/3<0
D=16+4*4/3=16+16/3=64/3
x₁=(4-8/√3)/2=2-4/√3
x₂=(4+8/√3)/2=2+4/√3
x∈(2-4/√3; 2+4/√3)

Answer 2

Давайте решим неравенство \( \frac{x^2}{2} < 2x + \frac{2}{3} \).

1. Приведем все члены к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей:

Умножим обе стороны на 6 (знаменатель 2 и 3):

\( 3x^2 < 12x + 4 \)

2. Перенесем все члены в одну сторону:

\( 3x^2 - 12x - 4 < 0 \)

3. Теперь решим квадратное уравнение:

Уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 3 \), \( b = -12 \), \( c = -4 \).

Дискриминант \( \Delta = b^2 - 4ac \):

\( \Delta = (-12)^2 - 4(3)(-4) = 144 + 48 = 192 \)

Дискриминант положителен, что означает, что у уравнения есть два корня.

Корни уравнения \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \):

\( x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{192}}{6} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{6} \)

Упростим корни:

\( x_1 = 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} \)

\( x_2 = 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} \)

Теперь мы знаем корни. Посмотрим, где наша квадратная функция \( 3x^2 - 12x - 4 \) отрицательна:

- Она отрицательна между корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).

Итак, решение неравенства \( \frac{x^2}{2} < 2x + \frac{2}{3} \) это:

\( x \in \left(2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) \)