Question

Биссектриса угла A трапеции ABCD пересекает боковую сторону CD в точке K. Найдите длину AB , если AD=12см , BC=8cm , CK:KD=3:4 Варианты ответов 1)14 2)15 3)16 4)17 5)18 6)другой ответ

Answer 1

Продолжим биссектрису до пресечения с прямой BC, пусть это будет точка M

из подобия треугольников СMK и AKD

СM/AD=CK/KD

CM=AD*CK/KD=12*0,75=9

AB=BM=BC+CM=8+9=17 ответ 4)

Answer 2

Обозначим длину биссектрисы угла A как BI. Также пусть \(AK = x\), тогда \(CK = 3x\) и \(KD = 4x\).

Из треугольника \(ABC\) мы можем использовать теорему косинусов:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A) \]

У нас есть значения для \(BC\) и \(AC\) (так как \(BC = 8\) и \(AC = AD = 12\)), и угол \(A\) биссектируется, поэтому \(\cos(A) = \sqrt{\frac{4x}{12}} = \frac{\sqrt{x}}{2}\).

Теперь мы можем подставить значения и решить уравнение:

\[ 8^2 = AB^2 + 12^2 - 2 \cdot AB \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{x}}{2} \]

Упростим это уравнение:

\[ 64 = AB^2 + 144 - 12 \cdot AB \cdot \sqrt{x} \]

Теперь выразим \(\sqrt{x}\) из уравнения:

\[ 12 \cdot AB \cdot \sqrt{x} = 144 - 64 + AB^2 \]

\[ 12 \cdot AB \cdot \sqrt{x} = AB^2 + 80 \]

\[ \sqrt{x} = \frac{AB^2 + 80}{12 \cdot AB} \]

Теперь вспомним, что \(CK:KD = 3:4\), поэтому \(\frac{CK}{KD} = \frac{3}{4}\). Мы знаем, что \(CK = 3x\) и \(KD = 4x\), поэтому:

\[ \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} \]

Теперь у нас есть уравнение для \(x\):

\[ \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} \]

Решив его, получим \(x = 4\).

Теперь, подставив \(x = 4\) в уравнение для \(\sqrt{x}\), получим:

\[ \sqrt{4} = \frac{AB^2 + 80}{12 \cdot AB} \]

\[ 2 = \frac{AB^2 + 80}{12 \cdot AB} \]

\[ 24 = AB^2 + 80 \]

\[ AB^2 = 24 - 80 = -56 \]

Поскольку длина не может быть отрицательной, данная трапеция не существует с заданными параметрами. Возможно, была допущена ошибка в постановке задачи или в значениях сторон.