Question

y штрих=2sin4x найпростіші диференціальні рівняння

Answer 1

Y!=2sin4x*(4x)!    (!-как штрих)
y!=2sin4x*4
y!=8sin4x

Answer 2

Ваш запрос содержит уравнение \(y' + y = 2\sin(4x)\), и вы хотите найти его наименее сложное дифференциальное уравнение.

Давайте решим это дифференциальное уравнение. Ваше уравнение имеет вид:

\[y' + y = 2\sin(4x).\]

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Общим решением такого уравнения является:

\[y(x) = e^{-x} \left( \int e^x (2\sin(4x)) \, dx + C \right),\]

где \(C\) - произвольная постоянная. Теперь давайте находим частное решение для данного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим правую часть уравнения \(2\sin(4x)\) и найдем его частное решение в виде \(y_p(x)\).

\[y_p(x) = A\sin(4x) + B\cos(4x),\]

где \(A\) и \(B\) - константы, которые нужно определить. Теперь найдем производные \(y_p'(x)\) и \(y_p''(x)\):

\[y_p'(x) = 4A\cos(4x) - 4B\sin(4x),\] \[y_p''(x) = -16A\sin(4x) - 16B\cos(4x).\]

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[y_p'' + y_p = -16A\sin(4x) - 16B\cos(4x) + A\sin(4x) + B\cos(4x).\]

Сгруппируем подобные члены:

\[-15A\sin(4x) - 15B\cos(4x) = 2\sin(4x).\]

Теперь сравним коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях:

\[-15A = 2 \quad \text{и} \quad -15B = 0.\]

Отсюда находим значения \(A\) и \(B\):

\[A = -\frac{2}{15}, \quad B = 0.\]

Таким образом, частное решение \(y_p(x)\) равно:

\[y_p(x) = -\frac{2}{15}\sin(4x).\]

Теперь общее решение неоднородного уравнения:

\[y(x) = e^{-x} \left( \int e^x (2\sin(4x)) \, dx + C \right) -\frac{2}{15}\sin(4x).\]

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.