Question

Известно, что х1, x2,x3- различные корни уравнения х^3-x-1=0. Составьтеуравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа х+1/х1-1 ; х2+1/х2-1 ; х3+1/х3-1

Answer 1

Исходное уравнение
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
x^3 - x - 1 = x^3 + 0x^2 - x - 1 = 0
a = 1; b = 0; c = -1; d = -1
По теореме Виета для кубического уравнения
{ x1 + x2 + x3 = -b/a = 0
{ x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = c/a = -1
{ x1*x2*x3 = -d/a = 1

Конечное уравнение будет иметь вид
(x - (x1+1)/(x1-1))*(x - (x2+1)/(x2-1))*(x - (x3+1)/(x3-1)) = 0
Раскрываем скобки
[(x1-1)*x - (x1+1)]/(x1-1)*[(x2-1)*x - (x2+1)]/(x2-1)*[(x3-1)*x - (x3+1)]/(x3-1) = 0
[(x1*x-x-x1-1)(x2*x-x-x2-1)(x3*x-x-x3-1)] / [(x1-1)(x2-1)(x3-1)] = 0
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
(x1*x2*x^2 - x2*x^2 - x1*x2*x - x2*x - x1*x^2 + x^2 + x1*x  + x  - x1*x2*x + x2*x + x1*x2 + x2 - x1*x + x + x1 + 1)(x3*x - x - x3 - 1) = 0
[x^2(x1*x2-x2-x1+1) + x(-x1*x2-x2+x1+1-x1*x2+x2-x1+1) + (x1*x2+x2+x1+1)]*
(x(x3-1) - (x3+1)) = 0
Приводим подобные
[x^2(x1*x2 - x2 - x1 + 1) + x(-2x1*x2 + 2) + (x1*x2 + x2 + x1 + 1)] *
* (x(x3 - 1) - (x3+1)) = 0
Раскрываем скобки окончательно
x^3*(x1*x2*x3 - x2*x3 - x1*x3 + x3 - x1*x2 + x2 + x1 - 1) +
+ x^2*(-x1*x2*x3 - x1*x2 + x2*x3 + x2 + x1*x3 + x1 - x3 - 1) +
+ x^2*(-2x1*x2*x3 + 2x3 + 2x1*x2 - 2) + x*(2x1*x2*x3 + 2x1*x2 - 2x3 - 2) +
+ x(x1*x2*x3 + x2*x3 + x1*x3 + x3 - x1*x2 - x2 - x1 - 1) -
- (x1*x2*x3 + x2*x3 + x1*x3 + x3 + x1*x2 + x2 + x1 + 1) = 0
Упрощаем
x^3*(x1*x2*x3 - (x1*x2+x1*x3+x2*x3) + (x1+x2+x3) - 1) +
+ x^2*(-3x1*x2*x3 + (x1*x2+x1*x3+x2*x3) + (x1+x2+x3) - 3) +
+ x*(3x1*x2*x3 + (x1*x2+x1*x3+x2*x3) - (x1+x2+x3) - 3) -
- (x1*x2*x3 + (x1*x2+x1*x3+x2*x3) + (x1+x2+x3) + 1) = 0
Подставляем значения из теоремы Виета
x^3*(1-(-1)+0-1) + x^2*(-3+(-1)+0-3) + x(3+(-1)-0-3) - (1-1+0+1) = 0
Окончательно уравнение будет такое:
x^3 - 7x^2 - x - 1 = 0

Answer 2

Пусть у нас есть уравнение x^3 - x - 1 = 0 с корнями x1, x2, x3.

Тогда мы можем сост