Question

Сравните значение выражений (2-√3)^-3 и (2-√3)^-4

Answer 1

(1/(2 - √3)^3  >  (1/(2 - √3)^4

Answer 2

Конечно, давай разберём это!

Итак, у нас есть два выражения:

1. \((2 - \sqrt{3})^{-3}\) 2. \((2 - \sqrt{3})^{-4}\)

Чтобы разобраться в их значении, начнём с понимания отрицательных степеней чисел.

Когда мы имеем выражение вида \(a^{-n}\) (где \(a\) - число, \(n\) - отрицательное число), это равносильно \(\frac{1}{a^n}\). То есть, отрицательная степень числа означает, что мы берём обратное значение числа в положительной степени.

Теперь давай рассмотрим выражения по очереди:

1. \((2 - \sqrt{3})^{-3}\)

Применим правило отрицательной степени:

\((2 - \sqrt{3})^{-3} = \frac{1}{(2 - \sqrt{3})^3}\)

Возводим \(2 - \sqrt{3}\) в куб:

\((2 - \sqrt{3})^3 = (2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})\)

Используем метод умножения скобок:

\((2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = (4 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3\cdot\sqrt{3^2}) = (1 - \sqrt{3})\)

Теперь вспомним, что мы ищем обратное значение этого числа:

\(\frac{1}{(2 - \sqrt{3})^3} = \frac{1}{(1 - \sqrt{3})} = 1 + \sqrt{3}\)

2. \((2 - \sqrt{3})^{-4}\)

Применим аналогичное правило отрицательной степени:

\((2 - \sqrt{3})^{-4} = \frac{1}{(2 - \sqrt{3})^4}\)

Возводим \(2 - \sqrt{3}\) в четвёртую степень:

\((2 - \sqrt{3})^4 = (2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})\)

Снова используем метод умножения скобок:

\((2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3\)

Теперь найдём обратное значение этого числа:

\(\frac{1}{(2 - \sqrt{3})^4} = \frac{1}{(1 - \sqrt{3})^2} = \frac{1}{(1 - \sqrt{3})^2} = \frac{1}{1 - 2\sqrt{3} + 3} = \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}}\)

Мы не можем упростить это выражение более, оставим его в таком виде.

Итак, мы получили два разных числа: \(1 + \sqrt{3}\) и \(\frac{1}{4 - 2\sqrt{3}}\). Оба числа являются иррациональными, но они различны и не могут быть сведены друг к другу в простой численной форме.