Question

Даны вершины треугольника АВС 1) Найдите уравнение стороны ВС ее нормальный вектор и угловой коэфициент 2) Найдите точки пересечения медианы опущенной из вершины А и высоты опущенной из вершины В 3) Уравнение прямой проходящей через точку А параллельной стороне ВС А=1;2 В=7;-6 С=-1;-12

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника А(1;2), В(7;-6), С(-1;-12).

1) Найти уравнение стороны ВС, её нормальный вектор и угловой коэффициент.
$BC: \frac{x-7}{-8}= \frac{y+6}{-6}$,
это уравнение в каноническом виде.
Знаменатели в этом уравнении - это координаты направляющего вектора: направляющий вектор $p(p_1, p_2)$.
Чтобы найти угловой коэффициент, надо уравнение из канонического вида преобразовать в уравнение с коэффициентом:
-6х + 42 = -8у - 48,
6х - 8у - 90 = 0 или, сократив на 2:
3х - 4у - 45 = 0 это общий вид уравнения.
Теперь выразим относительно у:
у = (3/4)х - (45/4) это уравнение с коэффициентом .
Угловой коэффициент уравнения стороны равен ВС 3/4.
Его можно определить по координатам точек:
Квс = (Ус-Ув) / (Хс-Хв).
Если прямая задана общим уравнением $Ax+By+C=0$  в прямоугольной системе координат, то вектор $n(A;B)$  является вектором нормали данной прямой.
Нормальный вектор (3;-4).

2) Найти точку пересечения медианы, опущенной из вершины А, и высоты, опущенной из вершины В.
Для этого надо найти уравнения этих прямых и решить полученную систему.
Находим координаты точки М (основание медианы АМ) как середину стороны ВС: М((7-1)/2=3; (-6-12)/2=-9.
Отсюда находим уравнение медианы АМ:
$AM: \frac{x-1}{2}= \frac{y-2}{-11}.$
Находим уравнение высоты из точки В(7;-6) как перпендикуляра (нормали) к стороне АС.

Уравнение $AC: \frac{x-1}{-2}= \frac{y-2}{-14} .$

Или в общем виде $AC: 7x-y-5=0.$

Нормальный вектор стороны АС $n(7;-1).$, а для высоты ВН он будет направляющим:

Уравнение высоты $BH: \frac{x-7}{7} = \frac{y+6}{-1} .$

Или в общем виде: -х + 7 = 7у + 42,

                               х + 7у + 35 = 0.

3) Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС имеет вид 3х - 4у - С = 0, так как уравнение ВС:  3х - 4у - 45 = 0.
Подставим координаты точки А: 3*1 - 4*2 - С = 0, отсюда С = 3-8 = -5.
Тогда искомое уравнение 3х - 4у + 5 = 0.

Answer 2

Для решения задачи, давайте начнем с нахождения уравнения стороны ВС треугольника ABC, её нормального вектора и углового коэффициента.

1) Уравнение стороны ВС:

У нас даны вершины треугольника: A(1, 2), B(7, -6), C(-1, -12).

Сначала найдем координаты вектора \(\vec{BC}\), который будет направлен от B к C:

\[ \vec{BC} = \langle x_C - x_B, y_C - y_B \rangle = \langle -1 - 7, -12 - (-6) \rangle = \langle -8, -6 \rangle \]

Теперь мы можем записать уравнение прямой в общем виде \(Ax + By + C = 0\), где \(\langle A, B \rangle\) - это нормальный вектор к прямой:

\[ A = -6, \quad B = 8 \]

Уравнение стороны ВС будет:

\[ -6x + 8y + C = 0 \]

2) Нормальный вектор и угловой коэффициент:

Нормальный вектор к прямой задается коэффициентами A и B. В данном случае, нормальный вектор \(\langle A, B \rangle = \langle -6, 8 \rangle\).

Угловой коэффициент прямой можно найти, используя отношение коэффициентов A и B:

\[ k = -\frac{A}{B} = -\frac{-6}{8} = \frac{3}{4} \]

Теперь перейдем ко второму пункту:

3) Точки пересечения медианы и высоты:

Медиана из вершины A делится сторону BC пополам, а высота, опущенная из вершины B, перпендикулярна стороне AC.

Поскольку медиана делит сторону пополам, ее координаты будут серединными координатами отрезка BC:

\[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{7 - 1}{2}, \frac{-6 - 12}{2}\right) = (3, -9) \]

Высота, опущенная из вершины B, будет перпендикулярна стороне AC и проходит через B. Найдем уравнение прямой, проходящей через B и перпендикулярной стороне AC. Сначала найдем угловой коэффициент этой прямой:

\[ k_{\text{высоты}} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} \]

Теперь у нас есть угловой коэффициент и точка B, через которую проходит прямая. Уравнение прямой будет:

\[ y - y_B = k_{\text{высоты}}(x - x_B) \]

Подставим координаты B:

\[ y - (-6) = -\frac{4}{3}(x - 7) \]

Решив это уравнение, найдем точку пересечения медианы и высоты.