Question

Решите уравнение. 2*(x^2 + 1/x^2)-(x + 1/x)=6

Answer 1

Замена: x+1/x = t
(x+1/x)^2 = x^2+2+1/x^2 = t^2
получим:
2*(t^2 - 2) - t = 6
2t^2 - t - 10 = 0
D = 1+4*2*10 = 9^2
(t)1;2 = (1+-9)/4
x+1/x = 2.5                   x+1/x = -2
x^2 - 2.5x + 1 = 0          x^2 + 2x + 1 = 0
2x^2 - 5x + 2 = 0           (x+1)^2 = 0
D=25-4*2*2 = 3^2           x = -1
(x)1;2 = (5+-3)/4
x = 2
x = 0.5

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Уравнение: \(2 \cdot (x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) = 6\)

1. Упростим выражение в скобках:

\(2 \cdot (x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) = 6\)

\(2x^2 + \frac{2}{x^2} - x - \frac{1}{x} = 6\)

2. Умножим все члены уравнения на \(x^2\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(2x^4 + 2 - x^3 - 1 = 6x^2\)

3. Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\(2x^4 - x^3 - 6x^2 + 1 = 0\)

4. Это уравнение является квадратным относительно \(x^2\). Пусть \(y = x^2\), тогда:

\(2y^2 - y - 6y + 1 = 0\)

5. Упростим уравнение:

\(2y^2 - 7y + 1 = 0\)

6. Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

Дискриминант (\(\Delta\)) = \(b^2 - 4ac\)

\(a = 2, b = -7, c = 1\)

\(\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 49 - 8 = 41\)

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два вещественных корня.

7. Теперь используем формулу корней квадратного уравнения:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(y = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}\)

Таким образом, у нас два возможных значения \(y\).

8. Теперь восстановим значения \(x\) из \(y = x^2\):

\(x = \pm \sqrt{y}\)

\(x = \pm \sqrt{\frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}}\)

Таким образом, уравнение имеет четыре решения:

\[x = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{41}}{4}}, \quad x = -\sqrt{\frac{7 + \sqrt{41}}{4}},\] \[x = \sqrt{\frac{7 - \sqrt{41}}{4}}, \quad x = -\sqrt{\frac{7 - \sqrt{41}}{4}}.\]