Question

Помогите, пожалуйста 1. Исследовать функцию f(x) 1/3x^3-5/2x^2+6 на монотонность и экстремум. 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой f(x)=2x^2-12x+20 в точке с абсциссой х0=4 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^2-2x+3 на отрезке [-2;4]

Answer 1

1. f'(x) = x²-5x = x(x-5)
Экстремумы в точках, где f'(x)=0 => x1=0, x2=5
x(x-5)>0 при х∈(-∞;0)∨(5;∞), значит f(x) на этом промежутке возрастает
x(x-5)<0 при х∈(0;5), значит f(x) на этом промежутке убывает
0 - max, 5 - min
2. y(кас.) = f'(x0)(x-x0)+f(x0)
f'(x0)=4x-12=4(x-3), f'(4)=4
f(x0)=32-48+20=4
y(кас.)=4(x-4)+4=4x-12
3. f(-2)=4+4+3=11
f(4)=16-8+3=11
Наибольшее значение может быть в экстремуме, проверим
f'(x)=2x-2=2(x-1)
f(1)=1-2+3=2
2<11, значит max = 11

Answer 2

Исследование функции f(x) = (1/3)x^3 - (5/2)x^2 + 6 на монотонность и экстремумы

Для начала, давайте найдем производную функции f(x) для исследования ее монотонности и экстремумов. Производная функции f(x) вычисляется путем нахождения производных каждого члена функции по переменной x и их суммирования. Производная функции f(x) равна:

f'(x) = d/dx[(1/3)x^3 - (5/2)x^2 + 6]

Вычислим производную функции f(x):

f'(x) = (1/3) * 3x^2 - (5/2) * 2x^1 + 0

f'(x) = x^2 - 5x

Теперь, чтобы исследовать монотонность функции f(x), необходимо найти интервалы, на которых производная f'(x) положительна или отрицательна. Для этого найдем точки, в которых производная равна нулю, и проверим знаки производной в интервалах между этими точками.

Найдем точки, в которых производная f'(x) равна нулю:

x^2 - 5x = 0

x(x - 5) = 0

Отсюда получаем две возможные точки экстремума: x = 0 и x = 5.

Теперь проверим знаки производной f'(x) в интервалах между этими точками и вне их.

- Для x < 0, возьмем x = -1: f'(-1) = (-1)^2 - 5(-1) = 1 + 5 = 6 > 0 - Для 0 < x < 5, возьмем x = 1: f'(1) = 1^2 - 5(1) = 1 - 5 = -4 < 0 - Для x > 5, возьмем x = 6: f'(6) = 6^2 - 5(6) = 36 - 30 = 6 > 0

Исследование монотонности функции f(x):

- Функция f(x) возрастает на интервале (-∞, 0). - Функция f(x) убывает на интервале (0, 5). - Функция f(x) возрастает на интервале (5, +∞).

Теперь найдем точки экстремума функции f(x):

- Минимум функции f(x) достигается в точке x = 0. - Максимум функции f(x) достигается в точке x = 5.

Уравнение касательной и нормали к кривой f(x) = 2x^2 - 12x + 20 в точке с абсциссой x0 = 4

Чтобы найти уравнение касательной и нормали к кривой f(x) в заданной точке x0, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите значение функции f(x0) в точке x0. f(x0) = 2(4)^2 - 12(4) + 20 = 32 - 48 + 20 = 4.

2. Найдите значение производной функции f'(x) в точке x0. f'(x) = 4x - 12. f'(x0) = 4(4) - 12 = 16 - 12 = 4.

3. Уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид y - f(x0) = f'(x0)(x - x0). Подставим значения x0 = 4, f(x0) = 4 и f'(x0) = 4 в уравнение: y - 4 = 4(x - 4).

4. Уравнение нормали к кривой f(x) в точке x0 имеет вид y - f(x0) = -1/f'(x0)(x - x0). Подставим значения x0 = 4, f(x0) = 4 и f'(x0) = 4 в уравнение: y - 4 = -1/4(x - 4).

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = x^2 - 2x + 3 на отрезке [-2;4]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на данном отрезке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите значения функции f(x) на концах отрезка: f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11. f(4) = (4)^2 - 2(4) + 3 = 16 - 8 + 3 = 11.

2. Найдите критические точки функции f(x) внутри отрезка, найдя значения x, где производная f'(x) равна нулю или не существует. Для этой функции, найдем производную f'(x): f'(x) = 2x - 2.

Приравниваем f'(x) к нулю и решим уравнение: 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1.

3. Проверьте значения функции f(x) в найденных критических точках: f(1) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-2;4] равно 11, а наименьшее значение равно 2.