Question

1^2 +2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 1

An=6^n (n^2-1)/n!    An+1=6^n+1((n+1)^2-1)/(n+1)!

lim n->∞  An+1/An= 6^n+1((n+1)^2-1)/(n+1)!×n!/6^n(n^2-1)=

lim n->∞ 6^n6((n+1)^2-1)1*2*3...*n/1*2*3...*n(n+1)*6*(n^2-1)=

6lim n->∞(n+1)^2-1/(n+1)(n^2-1)=6lim n->∞n^2+2n+1-1/(n+1)(n^2-1)=

6lim n->∞ n(n+2)/(n+1)(n^2-1)

Answer 2

Доказательство этой формулы можно провести по индукции.

База индукции: При n = 1, формула выполняется, так как 1^2 = 1 = 1(1+1)(2*1+1)/6.

Предположение индукции: Пусть формула выполняется для некоторого k, то есть 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6.

Шаг индукции: Докажем, что формула выполняется для k+1, то есть 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)/6.

Раскроем скобки в правой части: (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (2k^3 + 9k^2 + 13k + 6)/6 = (k^3 + 4.5k^2 + 6.5k + 3)/3.

Теперь рассмотрим левую часть: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k^3 + k^2 + 2k^2 + 2k + k + 1)/6 + (k+1)^2 = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1)/6 + (k^2 + 2k + 1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 6k^2 + 12k + 6)/6 = (k^3 + 9k^2 + 15k + 7)/6.

Таким образом, мы получаем, что левая и правая части равны друг другу: (k^3 + 9k^2 + 15k + 7)/6 = (k^3 + 4.5k^2 + 6.5k + 3)/3.

Таким образом, мы доказали, что если формула выполняется для k, то она выполняется и для k+1. Значит, формула верна для всех натуральных чисел n.