Question

Докажите, что b^2 > 4ac, если (a + b + c) (a − b + c) < 0.

Answer 1

Если открыть скобки то       
$(a+b+c)(a-b+c) \ \textless \ 0 \\ a^2+c^2+2ac\ \textless \ b^2$   
Так как   $a^2+c^2 \geq 2ac \\ 2ac+2ac\ \textless \ a^2+c^2+2ac\ \textless \ b^2\\ 4ac\ \textless \ b^2$       

Answer 2

Пользователь Матов дал самое верное и оптимальное решение этой задач, но вот еще одно, для полной коллекции :)
Рассмотрим $f(x)=ax^2+bx+c$. Имеем $f(1)f(-1)\ \textless \ 0$, то есть у $f(1)$ и $f(-1)$ различные знаки, значит у ур-ия $f(x)=0$ есть два разл. корня. Отсюда и $b^2\ \textgreater \ 4ac$

Answer 3

Давайте рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - это коэффициенты, причем \(a \neq 0\).

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

Если \(D > 0\), то у уравнения два корня, если \(D = 0\), то у уравнения один корень, и если \(D < 0\), то у уравнения нет действительных корней.

Теперь, у нас дано, что \((a + b + c)(a - b + c) < 0\). Мы можем раскрыть скобки:

\[a^2 - b^2 + ac - bc + ac - ab + bc - b^2 + c^2 < 0\]

Сгруппируем по членам:

\[a^2 - b^2 + 2ac - 2ab + c^2 < 0\]

Теперь, добавим и вычтем \(4ac\) (половину коэффициента при \(b\)):

\[a^2 - b^2 + 2ac - 2ab + 4ac - 4ac + c^2 < 0\]

Сгруппируем по членам снова:

\[(a^2 - 2ab + b^2) + 4ac + (c^2 - 4ac) < 0\]

Это можно переписать в виде:

\[(a - b)^2 + 4ac + (c^2 - 4ac) < 0\]

Теперь у нас есть выражение \((a - b)^2 + 4ac + (c^2 - 4ac)\), и нам нужно доказать, что оно отрицательно. Мы видим, что первое слагаемое \((a - b)^2\) - это квадрат, следовательно, оно всегда неотрицательно.

Таким образом, наше выражение может быть отрицательным только в случае, если второе и третье слагаемые, \(4ac\) и \((c^2 - 4ac)\), будут отрицательными. Давайте рассмотрим эти два слагаемых отдельно:

1. \(4ac\) - умножение на положительные \(a\), \(c\) дает положительное значение, а также умножение на 4, что также дает положительное значение. Следовательно, \(4ac\) положительно.

2. \((c^2 - 4ac)\) - вычитание положительного значения \(4ac\) из \(c^2\), исходя из предыдущего пункта, даст отрицательное значение.

Таким образом, оба слагаемых \(4ac\) и \((c^2 - 4ac)\) отрицательны. Поскольку \((a - b)^2\) неотрицательно, сумма трех слагаемых \((a - b)^2 + 4ac + (c^2 - 4ac)\) будет отрицательной.

Таким образом, мы доказали, что \((a + b + c)(a - b + c) < 0\) влечет \(b^2 - 4ac > 0\).