Question

Помогите решить а)Решите уравнение: -√2sin(-5п/2 + x) *sinx=cosx б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежажие отрезку [9п/2;6п]

Answer 1

-√2*sin(-5π/2+x)*sinx=cosx
√2cosx*sinx-cosx=0
cosx(√2sinx-1)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈z
9π/2≤π/2+πn≤6π
9≤1+2n≤12
8≤2n≤11
4≤n≤5,5
n=4⇒x=π/2+4n=9π/2
n=5⇒x=π/2+5π=11π/2
√2sinx-1=0
sinx=1/√2
x=π/4+2πk U x=3π/4+2πm
9π/2≤π/4+2πk≤6π
18≤1+8k≤24
17≤8k≤23
17/8≤k≤23/8
нет решения
9π/2≤3π/4+2πm≤6π
18≤3+8m≤24
15≤8m≤21
15/8≤m≤21/8
m=2⇒x=3π/4+4π=19π/4

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \( -\sqrt{2} \sin\left(-\frac{5\pi}{2} + x\right) \sin x = \cos x \).

Для начала, упростим уравнение:

\[ -\sqrt{2} \sin\left(-\frac{5\pi}{2} + x\right) \sin x = \cos x \]

Используем тригонометрические тождества:

\[ -\sqrt{2} \cdot (-\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)) \sin x = \cos x \]

\[ \sqrt{2} \sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) \sin x = \cos x \]

Теперь, применяем тождество \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \):

\[ \sqrt{2} (\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\cos x - \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)\sin x) \sin x = \cos x \]

Учитывая, что \( \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = -1 \) и \( \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0 \), уравнение упрощается до:

\[ -\sqrt{2} \cos x \sin x = \cos x \]

Теперь можем поделить обе стороны на \(\cos x\), при условии, что \(\cos x \neq 0\):

\[ -\sqrt{2} \sin x = 1 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Так как мы рассматриваем значения \(x\) в пределах отрезка \([9\pi/2; 6\pi]\), это означает, что \(x\) может принимать значения в интервале \([9\pi/2, 6\pi]\).

Определенный интервал для \(x\) обеспечивает, что \(\sin x\) отрицательно, и мы знаем, что \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\). Таким образом, у нас есть следующее:

\[ \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Теперь найдем все углы \(x\) в заданном интервале, удовлетворяющие этому условию. Для этого используем тождество \(\sin\theta = \sin(\pi k + \theta)\), где \(k\) - целое число:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k \]

Теперь мы можем подставить значения для \(k\) из заданного интервала \([9\pi/2, 6\pi]\) и получить все корни уравнения. Находим \(k\) так, чтобы \(\frac{9\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4} + \pi k \leq 6\pi\). Решив это неравенство, найдем соответствующие значения \(k\) и, следовательно, все корни уравнения.