Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2x

Answer 1

НАрисуй графики этих функций и ты увидишь, что нижней функцией будет y=x^2, а верхней y=2x, затем найдём точки пересечения приравнял y=x^2 и y=2x, получим x^2=2x,  x*(x-2)=0, тоесть данные функции пересекаются в 2 точках, x=0 и x=2, затем вычисляем двойной интеграл ,  интеграл(от 0 до 2)по dx (интеграл(от 2x до x^2) по dy), поставляя пределы получаем интеграл(от 0 до 2) по dx*(x^2-2x),  затем интегрируем и снова подставляем пределы и получаем  ((x^3/3)-x^2)в подстановке от 0 до 2, совершаем подстановку и получаем 0^3/3-0^2-(2^3/3-2^2)=-(-4/3)=4/3   Ответ: S=4/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2 и y=2x, мы можем использовать метод интегрирования.

Нахождение точек пересечения функций

Первым шагом необходимо найти точки пересечения графиков функций y=x^2 и y=2x. Для этого приравняем эти две функции и решим полученное уравнение:

x^2 = 2x

Перепишем уравнение в канонической форме:

x^2 - 2x = 0

x(x - 2) = 0

Из этого уравнения видно, что x может быть равным 0 или 2. Таким образом, точки пересечения графиков функций находятся в точках (0, 0) и (2, 4).

Определение пределов интегрирования

Далее необходимо определить границы интегрирования. На графике видно, что границы будут проходить через точки пересечения (0, 0) и (2, 4). Таким образом, границы интегрирования будут от 0 до 2.

Интегрирование

Теперь мы можем найти площадь фигуры, используя интеграл от разности функций y=x^2 и y=2x по переменной x:

S = ∫[0,2] (x^2 - 2x) dx

Решим этот интеграл:

S = [x^3/3 - x^2] |[0,2]

Подставим границы интегрирования:

S = [(2^3/3 - 2^2) - (0^3/3 - 0^2)]

S = [(8/3 - 4) - (0 - 0)]

S = [(8/3 - 12/3) - 0]

S = (-4/3) - 0

S = -4/3

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2 и y=2x, равна -4/3.