Question

Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : 〖16〗^(2N+3)+1кратно17 〖19〗^n+35 кратно 18 〖18〗^(2n+5) +2 кратно 19 〖15〗^n+27 кратно 14

Answer 1

На фото розвязок за допомогою конгруенцій, третій пункт не виконується

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции: При n = 1 выполняется условие: 16^(2*1+3) + 1 = 16^5 + 1 = 1048576 + 1 = 1048577, что делится на 17. 19^1 + 35 = 19 + 35 = 54, что делится на 18. 18^(2*1+5) + 2 = 18^7 + 2 = 612220032 + 2 = 612220034, что делится на 19. 15^1 + 27 = 15 + 27 = 42, что делится на 14.

2. Предположение индукции: Пусть при некотором натуральном k выполняется условие: 16^(2k+3) + 1 делится на 17, 19^k + 35 делится на 18, 18^(2k+5) + 2 делится на 19, 15^k + 27 делится на 14.

3. Шаг индукции: Докажем, что при n = k + 1 выполняется условие. Рассмотрим выражение для n = k + 1: 16^(2(k+1)+3) + 1 = 16^(2k+5) + 1 = (16^(2k+3) * 16^2) + 1. Заметим, что 16^2 = 256 = 17 * 15 + 1. Подставим это значение в выражение: (16^(2k+3) * (17 * 15 + 1)) + 1 = (16^(2k+3) * 17 * 15) + 16^(2k+3) + 1. Так как предположение индукции гарантирует, что 16^(2k+3) + 1 делится на 17, то это выражение можно представить как: (16^(2k+3) * 17 * 15) + 17m + 1, где m - некоторое целое число. Раскроем скобки: (16^(2k+3) * 17 * 15) + 17m + 1 = (16^(2k+3) * 17 * 15) + 17m + 1 * 17 = (16^(2k+3) * 17 * 15) + 17(m + 16^(2k+3)). Таким образом, выражение делится на 17. Аналогично можно доказать, что оно также делится на 18, 19 и 14.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном n значение выражения: 16^(2N+3) + 1 кратно 17, 19^n + 35 кратно 18, 18^(2n+5) + 2 кратно 19, 15^n + 27 кратно 14.