Question

Составте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абциссой x=а, если а)f(x)=ctg 2x,a=п/4 б)f(x)=2tg x/3, a=0

Answer 1

A
y(π/4)=ctgπ/2=0
y`=-2/sin²2x
y`(π/4)=-2/sin²π/2=-2
y=0-2(x-π/4)=-2x+π/2
b
f(0)=2tg0=0
f`(x)=2/[3cos²(x/3)]
f`(0)=2/3
y=0+2/3(x-0)=2/3x

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке с абсциссой \(x = a\), нам нужно воспользоваться определением производной.

1. Пусть \(f(x) = \cot(2x)\) и \(a = \frac{\pi}{4}\). Найдем производную функции \(f(x)\): \[f'(x) = -2\csc^2(2x)\]

Теперь найдем значение производной в точке \(x = a\): \[f'(\frac{\pi}{4}) = -2\csc^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -2\csc^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2\cdot 0 = 0\]

Так как производная в точке \(x = \frac{\pi}{4}\) равна 0, уравнение касательной будет иметь вид: \[y - f(\frac{\pi}{4}) = f'(\frac{\pi}{4})(x - \frac{\pi}{4})\] Подставим известные значения: \[y - \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \cdot \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\] Учитывая, что \(\cot\left(\frac{\pi}{2}\right)\) не существует, так как \(\cot\) обращается в бесконечность при аргументе \(\frac{\pi}{2}\), уравнение касательной можно записать как: \[x = \frac{\pi}{4}\]

2. Пусть \(f(x) = 2\tan\left(\frac{x}{3}\right)\) и \(a = 0\). Найдем производную функции \(f(x)\): \[f'(x) = \frac{2}{3}\sec^2\left(\frac{x}{3}\right)\]

Теперь найдем значение производной в точке \(x = a\): \[f'(0) = \frac{2}{3}\sec^2(0) = \frac{2}{3}\]

Теперь уравнение касательной: \[y - f(0) = f'(0)(x - 0)\] Подставим известные значения: \[y - 2\tan(0) = \frac{2}{3}(x - 0)\] Упростим уравнение: \[y = \frac{2}{3}x\]

Таким образом, уравнения касательных к графикам данных функций в указанных точках следующие:

1. Для \(f(x) = \cot(2x)\) в точке \(x = \frac{\pi}{4}\): \(x = \frac{\pi}{4}\).

2. Для \(f(x) = 2\tan\left(\frac{x}{3}\right)\) в точке \(x = 0\): \(y = \frac{2}{3}x\).