Question

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 1 разделить на сумму корня 8 степени из 3 и корня 3 степени из 2.

Answer 1

 $\frac{1}{ \sqrt[8]{3}+ \sqrt[3]{2} }=\frac{\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2}}{( \sqrt[8]{3}+ \sqrt[3]{2})(\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2})}=\frac{\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2}}{(\sqrt[8]{3^2}- \sqrt[3]{2^2})}=\frac{\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2}}{(\sqrt[4]{3}- \sqrt[3]{4}) }=\\ \\=\frac{(\sqrt[8]{3}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[4]{3}- \sqrt[3]{4})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4}) }= \frac{(\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[4]{3^2}- \sqrt[3]{4^2})}=$

$=\frac{(\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+ \sqrt[3]{16})}{(\sqrt{3}- \sqrt[3]{16})(\sqrt{3}+ \sqrt[3]{16})}=$

$\frac{(\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+ \sqrt[3]{16})(9+ 3\sqrt[3]{256}+\sqrt[3]{256^2})}{(3- \sqrt[3]{256})(9+3 \sqrt[3]{256})+\sqrt[3]{256^2})}=$

$=\frac{(\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+ \sqrt[3]{16})(9+ 3\sqrt[3]{256}+\sqrt[3]{256^2})}{3^3- (\sqrt[3]{256})^3}=\\ \\=\frac{(\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+ \sqrt[3]{16})(9+ 3\sqrt[3]{256}+\sqrt[3]{256^2})}{27-256}=\\ \\=-\frac{(\sqrt[8]{3}- \sqrt[3]{2})(\sqrt[4]{3}+ \sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+ \sqrt[3]{16})(9+ 3\sqrt[3]{256}+\sqrt[3]{256^2})}{229}$

Answer 2

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, нужно привести его к рациональному виду. Для этого мы можем воспользоваться свойствами корней.

Имеем дробь 1 / (корень 8 степени из 3 + корень 3 степени из 2).

Для начала рассмотрим корень 8 степени из 3. Мы можем представить его в виде корня из 3 возводимого в степень 8: √(3^8). Также, корень 3 степени из 2 можно представить в виде корня из 2 возводимого в степень 3: √(2^3).

Теперь мы можем переписать нашу дробь следующим образом: 1 / (√(3^8) + √(2^3)).

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы можем использовать метод рационализации знаменателя. Для этого умножим исходную дробь на сопряженное выражение знаменателя, то есть на (√(3^8) - √(2^3)).

Таким образом, наша дробь примет вид: (1 * (√(3^8) - √(2^3))) / ((√(3^8) + √(2^3)) * (√(3^8) - √(2^3))).

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: 1 * (√(3^8) - √(2^3)) = √(3^8) - √(2^3) = 3^4 - 2^(3/2) = 81 - 8 = 73.

Знаменатель: (√(3^8) + √(2^3)) * (√(3^8) - √(2^3)) = (√(3^8))^2 - (√(2^3))^2 = 3^8 - 2^3 = 6561 - 8 = 6553.

Итак, наша дробь равна 73 / 6553.

Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе и получили рациональную дробь 73 / 6553.