Question

Найти дифференциал функции y=e^2x*Lntgx/2

Answer 1

y=e^2x*ln(tgx/2)

y'=(e^2x)*ln(tgx/2) + e^2x*(ln(tgx/2))' = 2e^2x*ln(tgx/2) + e^2x * 2/tgx * 1/2* 1/cos^2(x) = 2e^2x*ln(tgx/2) * e^2x/tgxcos^2(x) = e^2x ( 2ln(tgx/2) + 1/tgxcos^2(x) ) = e^(2x)*(2ln(tgx/2) + 1/sinxcosx) = e^(2x)*(2ln(tgx/2) + 2/sin2x)=2e^(2x)*(ln(tgx/2) + 1/sin2x)

dy/dx = 2e^(2x)*(ln(tgx/2) + 1/sin2x)
dy= 2e^(2x)*(ln(tgx/2) + 1/sin2x)dx 

Answer 2

Для нахождения дифференциала функции y = e^(2x) * ln(tgx/2), мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций.

Правило дифференцирования произведения функций гласит: d(uv) = u * dv + v * du,

где u и v - функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, мы можем представить функцию y в виде произведения двух функций: u = e^(2x), v = ln(tgx/2).

Тогда дифференциал функции y будет равен: dy = u * dv + v * du.

Найдем дифференциалы функций u и v:

du = d(e^(2x)) = 2 * e^(2x) * dx,

dv = d(ln(tgx/2)).

Для нахождения дифференциала функции dv, мы можем использовать правило дифференцирования для логарифмической функции.

Правило дифференцирования для логарифма гласит: d(ln(u)) = (1/u) * du.

В данном случае, u = tgx/2, поэтому du = d(tgx/2) = (1/(cos^2(x/2))) * dx.

Теперь, используя найденные значения du и dv, можем вычислить дифференциал функции y:

dy = u * dv + v * du = e^(2x) * (1/(cos^2(x/2))) * dx + ln(tgx/2) * 2 * e^(2x) * dx = (e^(2x)/(cos^2(x/2))) * dx + 2 * e^(2x) * ln(tgx/2) * dx.

Таким образом, дифференциал функции y равен: dy = (e^(2x)/(cos^2(x/2))) * dx + 2 * e^(2x) * ln(tgx/2) * dx.

Это и есть дифференциал функции y = e^(2x) * ln(tgx/2).