Question

Докажите неравенство 1) 4a^2+1 (больше или равно) 4a 2) (b+2)(b+4) (меньше) (b+3)^2

Answer 1

$4a^2+1\geq 4a\\\\4a^2 - 4a + 1 \geq 0 \\\\4(a^2 - a + (\frac{1}{2})^2) \geq 0 \;\;\;|:4\\\\a^2 - a + (\frac{1}{2})^2 > 0\\\\(a-\frac{1}{2})^2 \geq 0$

Квадрат действительного числа всегда больше или равен 0.

$(b+2)(b+4) < (b+3)^2\\\\((b+3) - 1)((b+3) + 1) < (b+3)^2 \\\\(b+3)^2 - 1^2 < (b+3)^2 \\\\-1 < 0$

Ноль всегда будет больше -1

Answer 2

Дано неравенство:

1) 4a^2 + 1 ≥ 4a + 2 + (b + 2)(b + 4) < (b + 3)^2

Для доказательства этого неравенства, мы можем разбить его на две части и проверить их независимо друг от друга. Давайте начнем с первой части:

4a^2 + 1 ≥ 4a + 2

Для начала, выведем все термины на одну сторону неравенства:

4a^2 - 4a + 1 - 2 ≥ 0

Упростим это выражение:

4a^2 - 4a - 1 ≥ 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с использованием дискриминанта:

Дискриминант (D) = (-4)^2 - 4 * 4 * (-1) = 16 + 16 = 32

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

a1 = (-(-4) + √32) / (2 * 4) = (4 + 4√2) / 8 = (1 + √2) / 2 a2 = (-(-4) - √32) / (2 * 4) = (4 - 4√2) / 8 = (1 - √2) / 2

Теперь давайте рассмотрим вторую часть неравенства:

4a + 2 + (b + 2)(b + 4) < (b + 3)^2

Раскроем скобки:

4a + 2 + b^2 + 6b + 8 < b^2 + 6b + 9

Упростим выражение:

4a + 2 + 8 < 9

4a + 10 < 9

4a < -1

a < -1/4

Таким образом, мы получили два условия:

1) a1 ≥ (1 + √2) / 2 2) a2 ≥ (1 - √2) / 2 3) a < -1/4

Теперь объединим эти условия:

a1 ≥ (1 + √2) / 2 ИЛИ a2 ≥ (1 - √2) / 2 ИЛИ a < -1/4

Таким образом, мы доказали данное неравенство.