Question

Найти интеграл 8x^3(x^4+1)^5dx

Answer 1

Проверь правильность задания

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте разберемся подробнее.

Шаг 1: Замена переменной

Пусть u = x^4 + 1. Тогда, мы можем выразить x через u, используя обратную функцию: x = (u - 1)^(1/4).

Шаг 2: Вычисление дифференциала

Теперь, нам нужно выразить dx через du. Для этого, продифференцируем уравнение u = x^4 + 1 по x, получим du = 4x^3 dx. Затем, выразим dx через du: dx = du / (4x^3).

Шаг 3: Замена в интеграле

Теперь, мы можем заменить переменные в исходном интеграле: ∫8x^3(x^4+1)^5 dx = ∫8(u - 1)^(1/4) u^5 (du / (4(u - 1)^(3/4))) = 2∫(u - 1)^(1/4) u^5 (du / (u - 1)^(3/4)).

Шаг 4: Упрощение интеграла

Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе, а также выведем (u - 1)^(1/4) из-под знака интеграла: 2∫(u - 1)^(1/4) u^5 (du / (u - 1)^(3/4)) = 2∫u^5 du.

Шаг 5: Вычисление интеграла

Теперь, мы можем вычислить интеграл ∫u^5 du: 2∫u^5 du = 2 * (u^6 / 6) + C = u^6 / 3 + C.

Шаг 6: Обратная замена

Вернемся к исходной переменной x, подставим обратные функции: (u^6 / 3 + C) = ((x^4 + 1)^6 / 3) + C.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫8x^3(x^4+1)^5dx равен ((x^4 + 1)^6 / 3) + C, где C - произвольная постоянная.