Question

Решить уравнение: 1) x^2-5x+6/x^2-5x=0 2)-x^2-2x+15/x^2+4x=0 3) 3x^2+8x-3/2x^2+6=0 4) 1/2+4/x=5/x-3

Answer 1

1) знаменатель x²-5x≠0, x²-5x=x(x-5)≠0 поэтому x≠0 и x≠5
равным 0 может быть только числитель
x²-5x+6=0
D=25-4*6=1
x₁=(5-1)/2=2
x₂=(5+1)/2=3
2)аналогично предыдущему x²+4x=x(x+4)≠0, то есть x≠0 и x≠-4
-x²-2x+15=0
D=4+4*15=64
x₁=(2-8)/(-2)=3
x₂=(2+8)/(-2)=-5
3)2x²+6=2(x²+3)≠0, x≠√3 и x≠-√3
3x²+8x-3=0
D=64+4*3*3=64-36=100
x₁=(-8-10)/6=-3
x₂=(-8+10)/6=1/3
4)x≠0 и x≠3
$\frac{1}{2} + \frac{4}{x} = \frac{5}{x-3}$  
$\frac{1}{2} +\frac{4}{x}- \frac{5}{x-3} =0$
$\frac{x(x-3)+2*4(x-3)-2*5x}{2x(x-3)}=0$
x(x-3)+8(x-3)-10x=0
x²-3x+8x-24-10x=0
x²-5x-24=0
D=25+4*24=121
x₁=(5-11)/2=-3
x₂=(5+11)/2=8

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение поочередно:

1. \( \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 5x} = 0 \)

Сначала упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \(x^2 - 5x + 6\) не может быть упрощен.

Знаменатель: \(x^2 - 5x = x(x - 5)\)

Теперь уравнение принимает вид:

\[ \frac{x^2 - 5x + 6}{x(x - 5)} = 0 \]

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить, например, с помощью метода факторизации:

\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \(x = 2\) и \(x = 3\).

2. \( \frac{x^2 - 2x + 15}{x^2 + 4x} = 0 \)

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \(x^2 - 2x + 15\) не может быть упрощен.

Знаменатель: \(x^2 + 4x = x(x + 4)\)

Теперь уравнение принимает вид:

\[ \frac{x^2 - 2x + 15}{x(x + 4)} = 0 \]

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\[ x^2 - 2x + 15 = 0 \]

Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицательный.

3. \( \frac{3x^2 + 8x - 3}{2x^2 + 6} = 0 \)

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \(3x^2 + 8x - 3\) не может быть упрощен.

Знаменатель: \(2x^2 + 6 = 2(x^2 + 3)\)

Теперь уравнение принимает вид:

\[ \frac{3x^2 + 8x - 3}{2(x^2 + 3)} = 0 \]

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\[ 3x^2 + 8x - 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить, например, с помощью дискриминанта.

4. \( \frac{\frac{1}{2} + 4}{x} = \frac{5}{x} - 3 \)

Упростим дроби слева:

\[ \frac{\frac{9}{2}}{x} = \frac{5}{x} - 3 \]

Перенесем все слагаемые в одну дробь:

\[ \frac{\frac{9}{2}}{x} - \frac{5}{x} + 3 = 0 \]

Общий знаменатель для первых двух дробей - \(2x\):

\[ \frac{9 - 10x + 6x}{2x} = 0 \]

\[ \frac{-x + 9}{2x} = 0 \]

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\[ -x + 9 = 0 \]

Отсюда получаем корень \(x = 9\).

Итак, решения уравнений:

1. \(x = 2\) или \(x = 3\) 2. Нет действительных корней. 3. Решение зависит от решения квадратного уравнения \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). 4. \(x = 9\).