Question

Визначте площу фігури обмеженої лініями у=х^2, x=0 i x=3 і віссю х.

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Задана фігура обмежена графіками $u = x^2$, $x = 0$, $x = 3$ та віссю $x$.

Спершу з'ясуємо, яка частина площини утворює ця фігура.

Графік $u = x^2$ - це парабола, яка відкривається вгору, центрована в точці $(0, 0)$ і займає всю площину $u$ в додатньому напрямку, коли $x$ змінюється від $-\infty$ до $+\infty$. Оскільки ми маємо обмеження $x = 0$ та $x = 3$, ми розглядаємо лише частину параболи між цими двома вертикальними лініями.

Таким чином, область фігури утворюється параболою $u = x^2$ між вертикальними лініями $x = 0$ та $x = 3$.

Тепер для знаходження площі цієї фігури скористаємось інтегралом. Площа під кривою може бути обчислена як визначений інтеграл:

$$\text{Площа} = \int_{a}^{b} f(x) \,dx,$$

де $f(x)$ - функція, яка визначає параболу, а $a$ та $b$ - межі інтегрування.

У нашому випадку, $f(x) = x^2$, $a = 0$ та $b = 3$ (межі $x$).

Отже, площа фігури обмеженої графіками $u = x^2$, $x = 0$, $x = 3$ та віссю $x$ дорівнює:

$$\text{Площа} = \int_{0}^{3} x^2 \,dx.$$

Обчислимо цей інтеграл:

$$\text{Площа} = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = 9.$$

Отже, площа фігури обмеженоєю графіками $u = x^2$, $x = 0$, $x = 3$ та віссю $x$ становить 9 квадратних одиниць.