Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО !!!!! ПОЖАЛУЙСТА !!!!! Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) y = (12 - x) * корень из x на отрезке [1; 9] 2) y = 1/3 cos 3x на отрезке [0; π/2]

Answer 1

1) y ' =-корень из х+ (12-x)/2корень из х=(-3x+12)/2корень из х =0,  х=4

Теперь вычислим значения функции в точках х=1; 4; 9

y(1)=11;  y(4)=16;   y(9)=9. Значит, наибольшее значение у=16, наименьшее у=9

2) y ' =(1/3)*(-3sin3x)=-sin3x=0,  3x=Пn,  x=Пn/3. В данный промежуток попадает

x=П/3. Найдем значения функции.

y(0)=1/3;   y(П/3)=(1/3)*cosП=-1/3;   y(П/2)=(1/3)*cos(3п/2)=0

Отсюда: наибольшее значение  у=1/3,  наименьшее у=-1/3

 

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждую из заданных функций и найдем их наибольшие и наименьшие значения на указанных отрезках.

1) Функция \( y = (12 - x) \cdot \sqrt{x} \) на отрезке [1; 9].

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

\[ y' = \frac{dy}{dx} = -\sqrt{x} + \frac{12 - x}{2 \sqrt{x}} = 0 \]

Умножим обе стороны на \( 2\sqrt{x} \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ -2x + 12 - x = 0 \]

Сгруппируем по \( x \):

\[ -3x + 12 = 0 \]

Решаем уравнение:

\[ 3x = 12 \]

\[ x = 4 \]

Таким образом, \( x = 4 \) - точка, в которой производная равна нулю. Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это точка минимума:

\[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{3/2}} \]

Подставим \( x = 4 \):

\[ y''(4) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4^{3/2}} = \frac{3}{16} > 0 \]

Таким образом, при \( x = 4 \) функция имеет минимум.

Теперь найдем значения функции на концах отрезка [1; 9] и в найденной точке:

\[ y(1) = (12 - 1) \cdot \sqrt{1} = 11 \]

\[ y(4) = (12 - 4) \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2 = 16 \]

\[ y(9) = (12 - 9) \cdot \sqrt{9} = 3 \cdot 3 = 9 \]

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1; 9] равно 9 (достигается при \( x = 9 \)), а наибольшее значение равно 16 (достигается при \( x = 4 \)).

2) Функция \( y = \frac{1}{3} \cos(3x) \) на отрезке [0; \( \frac{\pi}{2} \)].

Эта функция представляет собой косинус с амплитудой \( \frac{1}{3} \) и периодом \( \frac{2\pi}{3} \). На отрезке [0; \( \frac{\pi}{2} \)], косинус принимает наибольшее значение в точке \( x = 0 \) (когда аргумент равен 0) и наименьшее значение в точке \( x = \frac{\pi}{2} \) (когда аргумент равен \( \frac{\pi}{2} \)).

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0; \( \frac{\pi}{2} \)] равно \( \frac{1}{3} \) (достигается при \( x = 0 \)), а наименьшее значение равно \( -\frac{1}{3} \) (достигается при \( x = \frac{\pi}{2} \)).

Итак, наименьшие и наибольшие значения для данных функций на указанных отрезках:

1) Функция \( y = (12 - x) \cdot \sqrt{x} \) на отрезке [1; 9]: - Наименьшее значение: 9 (при \( x = 9 \)) - Наибольшее значение: 16 (при \( x = 4 \))

2) Функция \( y = \frac{1}{3} \cos(3x) \) на отрезке [0; \( \frac{\pi}{2} \)]: - Наименьшее значение: \( -\frac{1}{3} \) (при \( x = \frac{\pi}{2} \)) - Наибольшее значение: \( \frac{1}{3} \) (при \( x = 0 \))