Question

При каких значениях параметра b уравнение имеет 4 решения? x^2+3*|x|-b=0

Answer 1

График данного уравнения будет схематично выглядеть, как на картинке. Количество корней определяется количеством точек, в которых график пересек ось абсцисс, т.е сколько раз парабола(ну не совсем парабола) пересекла ось OX, столько корней. На картинке график пересекает ось абсцисс четыре раза. Значит, корней также буде четыре. Именно сколько нам нужно. Поэтому, чтобы уравнение имело 4 решения нужно:
1) Чтобы дискриминант был больше нуля (изначально парабола должна иметь два корня),
2) Параметр b также должен быть больше нуля. b - это, по сути значение функции при x=0. Это также влияет на число решений.

1)D=9+4b²>0 (при любых b дискриминант больше нуля)
2)b>0 ( Нулю параметр не равен, иначе будет только три корня)
Ответ b∈(0;∞)

Answer 2

Уравнение x^2 + 3*|x| - b = 0 имеет 4 решения при определенных значениях параметра b. Чтобы найти эти значения, мы должны рассмотреть различные случаи в зависимости от знака x и значения модуля |x|.

Случай 1: x ≥ 0

Когда x ≥ 0, уравнение принимает вид x^2 + 3x - b = 0. Для того чтобы иметь 4 решения, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Случай 2: x < 0

Когда x < 0, уравнение принимает вид x^2 - 3x - b = 0. Для того чтобы иметь 4 решения, дискриминант этого квадратного уравнения также должен быть равен нулю.

Таким образом, чтобы уравнение x^2 + 3*|x| - b = 0 имело 4 решения, необходимо, чтобы дискриминанты обоих квадратных уравнений x^2 + 3x - b = 0 и x^2 - 3x - b = 0 были равны нулю.

Дискриминант первого квадратного уравнения:

Дискриминант первого квадратного уравнения x^2 + 3x - b = 0 равен 9 - 4b.

Дискриминант второго квадратного уравнения:

Дискриминант второго квадратного уравнения x^2 - 3x - b = 0 равен 9 + 4b.

Таким образом, для того чтобы уравнение x^2 + 3*|x| - b = 0 имело 4 решения, необходимо, чтобы дискриминанты обоих квадратных уравнений были равны нулю:

9 - 4b = 0 и 9 + 4b = 0

Решая эти уравнения, мы получаем:

b = 9/4 и b = -9/4.

Таким образом, при значениях параметра b равных 9/4 и -9/4, уравнение x^2 + 3*|x| - b = 0 имеет 4 решения.