Question

1) решить уравнение cos( 2)является ли прямая y=x+1 касательной к графику функции y= 3) неравенство решить 4) в треугольнике ABC угол C=90 угол B=60 AC= найти ВС

Answer 1

$1)\quad cos(\frac{\pi}{2}+x)-1=sin(\pi -x)\\\\-sinx-1=sinx\\\\2sinx=-1\\\\sinx=-\frac{1}{2}\\\\x=(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in Z\\\\2)\quad y=e^{x}\; ,\; x_0-0\\\\y(0)=e^0=1\\\\y'=e^{x}\; ,\; \; y'(0)=1\\\\y=y(0)+y'(0)(x-x_0)\\\\y=1+1\cdot (x-0)$

  $y=x+1$  - касательная в точке х=0 .

$3)\log_2(x-1)+lod_2x\ \textless \ 1\; ;\; \; ODZ:\; \left \{ {{x-1\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 0}} \right. \to \; x\ \textgreater \ 1\\\\(x-1)x\ \textless \ 2\\\\x^2-x-2\ \textless \ 0\\\\(x-2)(x+1)\ \textless \ 0\qquad +++(-1)---(2)+++\\\\x\in (-1,2)\\\\ \left \{ {{x\in (-1,2)} \atop {x\ \textgreater \ 1}} \right. \quad x\in (1,2)\\\\4)tg60^\circ =\frac{\sqt3}{BC}\; \; \Rightarrow \; \; BC=\frac{\sqrt3}{tg60^\circ }=\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=1$

Answer 2

Конечно, рассмотрим каждый вопрос по порядку!

1) Решим уравнение \( \cos(2x) \) = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) и определим, является ли прямая \( y = x + 1 \) касательной к графику функции.

Итак, у нас есть уравнение \( \cos(2x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Найдем решение этого уравнения:

\[ \cos(2x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ 2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Это означает, что уравнение имеет решения вида \( x = \frac{\pi}{8} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{8} + \pi n \) для целых чисел \( n \).

Теперь проверим, касается ли прямая \( y = x + 1 \) графика функции \( \cos(2x) \) в одной из точек \( x = \frac{\pi}{8} + \pi n \) или \( x = -\frac{\pi}{8} + \pi n \).

Для этого найдем производную функции \( \cos(2x) \):

\[ \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -2\sin(2x) \]

Посмотрим на угловой коэффициент прямой \( y = x + 1 \), который равен 1.

Теперь найдем значение производной \( \cos(2x) \) в точках \( x = \frac{\pi}{8} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{8} + \pi n \):

\[ \frac{d}{dx}(\cos(2x)) \Bigg|_{x=\frac{\pi}{8} + \pi n} = -2\sin\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{8} + \pi n\right)\right) \] \[ \frac{d}{dx}(\cos(2x)) \Bigg|_{x=\frac{\pi}{8} + \pi n} = -2\sin\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) = -2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \]

\[ \frac{d}{dx}(\cos(2x)) \Bigg|_{x=-\frac{\pi}{8} + \pi n} = -2\sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{8} + \pi n\right)\right) \] \[ \frac{d}{dx}(\cos(2x)) \Bigg|_{x=-\frac{\pi}{8} + \pi n} = -2\sin\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) = -2\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Это означает, что угловые коэффициенты касательных к графику функции \( \cos(2x) \) в точках \( x = \frac{\pi}{8} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{8} + \pi n \) не равны угловому коэффициенту прямой \( y = x + 1 \) (который равен 1). Таким образом, прямая \( y = x + 1 \) не является касательной к графику функции \( \cos(2x) \).

2) Для решения неравенства нужно знать само неравенство. Если у вас есть конкретное неравенство, пожалуйста, предоставьте его, и я помогу его решить.

3) В треугольнике \(ABC\) известно, что угол \(C = 90^\circ\), угол \(B = 60^\circ\) и \(AC = a\). Необходимо найти \(BC\).

Сначала найдем угол \(A\), так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]

Теперь, используя свойство треугольника, можно применить тригонометрию. Так как у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем использовать тангенс угла \(A\):

\[ \tan(A) = \frac{BC}{AC} \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{BC}{a} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{a} \] \[ BC = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, длина \(BC\) равна \(\frac{a}{\sqrt{3}}\).