Question

Найдите все пары натуральных чисел, у которых сумма в три раза меньше произведения.

Answer 1

Ответ:

Всего три пары - $(6,6),\, (4,12), (12,4)$

Объяснение:

Для того чтобы решить задачу, нужно правильно сформулировать проблему -

"Требуется найти все пары $(x,y)$, где $x, y \in \mathbb N$ так что $3(x+y)=xy$."

Из равенства $3(x+y)=xy$ очевидно что $xy$ делится на 3. Следовательно хотя бы одно из чисел $x, y$ делится на 3. Без огранчения общности, предположим что $x = 3m, \, m\in \mathbb N$.

Следовательно, высшеупомянотое равенство преообразовывается в

$3m + y =my$, из которого выводим $\displaystyle y = \frac{3m}{m-1}$.

Заметим что отсюда выходит что, $\displaystyle y-3=\frac{3}{m-1}$.

Т.к. $y$ цело только и только тогда, когда $y-3$ цело, то следовательно, 3 должно делится на $m-1$.

Число 3 делится только на четыре числа - 3, -3, 1, -1.  Но лишь только два из них подходят - 3 и 1.

Следовательно,

$m-1 = 1$ или $m-1 = 3$.

Т.е.,

$m=2$ или $m =4$

Отсюда получаем две пары -  $(6,6),(12,4)$. Однако очевидно, что также и пара $(4,12)$ подходит.

Answer 2

Давайте обозначим эти два натуральных числа как \(x\) и \(y\). Условие задачи гласит, что сумма чисел в три раза меньше их произведения:

\[x + y = \frac{1}{3}xy\]

Для начала, преобразуем это уравнение:

\[3(x + y) = xy\] \[3x + 3y = xy\] \[xy - 3x - 3y = 0\] \[xy - 3x - 3y + 9 = 9\] \[(x - 3)(y - 3) = 9\]

Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел \(x\) и \(y\), таких что их произведение равно 9.

Возможные комбинации для \(x\) и \(y\) такие, что их произведение равно 9, это:

1) \(x - 3 = 1\) и \(y - 3 = 9\) Тогда \(x = 4\) и \(y = 12\)

2) \(x - 3 = 3\) и \(y - 3 = 3\) Тогда \(x = 6\) и \(y = 6\)

3) \(x - 3 = 9\) и \(y - 3 = 1\) Тогда \(x = 12\) и \(y = 4\)

Таким образом, найдены три пары натуральных чисел, у которых сумма в три раза меньше их произведения: (4, 12), (6, 6) и (12, 4).