Question

lg^2x=4-3lgx lg(x-2)+lg(x-3)=1-lg5

Answer 1

$\\x>0\\\\ \lg^2x=4-3\lg x\\ \lg^2x+3\lg x-4=0\\ \lg^2x-\lg x+4\lg x-4=0\\ \lg x(\lg x-1)+4(\lg x-1)=0\\ (\lg x +4)(\lg x-1)=0\\ \lg x+4=0 \vee \lg x -1=0\\ \lg x=-4 \vee \lg x=1\\ x=10^{-4} \vee x=10^1\\ x=\frac{1}{10000} \vee x=10$

----------------------------------------------------------------------

$\\x-2 >0 \wedge x-3>0\\ x>2 \wedge x>3\\ x>3\\\\ \lg(x-2)+\lg(x-3)=1-\lg 5\\ \lg(x-2)(x-3)=\lg 10-\lg 5\\ \lg(x^2-3x-2x+6)=\lg \frac{10}{5}\\ \lg(x^2-5x+6)=\lg 2\\ x^2-5x+6=2\\ x^2-5x+4=0\\ x^2-x-4x+4=0\\ x(x-1)-4(x-1)=0\\ (x-4)(x-1)=0\\ x=4 \vee x=1\\\\ 1\not>3\Rightarrow x=4$

Answer 2

Давайте решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \lg^2x = 4 - 3\lg x + \lg(x-2) + \lg(x-3) \\ \lg(x-2) + \lg(x-3) = 1 - \lg 5 \end{cases} \]

Обратите внимание, что \(\lg^2x\) обозначает \((\lg x)^2\), а \(\lg 5\) — логарифм по основанию 10 от 5.

Давайте обозначим \(\lg x\) за \(a\). Тогда первое уравнение примет вид:

\[ a^2 = 4 - 3a + (\lg(x-2) + \lg(x-3)) \]

Упростим вторую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

\[ a^2 = 4 - 3a + \lg((x-2)(x-3)) \]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[ \lg(x-2) + \lg(x-3) = 1 - \lg 5 \]

Объединим логарифмы, используя свойство логарифма произведения:

\[ \lg((x-2)(x-3)) = 1 - \lg 5 \]

Теперь мы можем заменить это выражение в первом уравнении:

\[ a^2 = 4 - 3a + (1 - \lg 5) \]

Упростим это уравнение:

\[ a^2 + 3a - 3 - \lg 5 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \(a\). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = 3\), и \(c = -3 - \lg 5\).

Теперь найдем значения \(a\). Подставим значения:

\[ a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-3 - \lg 5)}}{2} \]

\[ a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 12 + 4\lg 5}}{2} \]

\[ a = \frac{-3 \pm \sqrt{21 + 4\lg 5}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(a\). Помним, что \(a = \lg x\), поэтому теперь мы можем выразить \(x\) через \(a\) и решить исходную систему.