Question

S=2*1/2*(1+2*1/(2^2)+3*1/(2^3)+4*1/(2^4)+5*1/(2^5)+...+∞/(2^∞)) Посчитать сумму, желательно использовать формулу — бесконечно убывающей геом прогрессии, для конечного n, выражение сокращается до вида 2^(1-n)*(-n+2^(n+1)-2). С параметром х=1/2 и n=infinite, выражение принимает вид 2х(1+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n). Последние слагаемое не может быть, каким-то конечным, n или n+1, а строго бесконечным, для этого и нужно использовать формулу S=b₁/(1-q).

Answer 1

Могу продолжить то что ты начала. Частичная сумма ряда ∑$\frac{n}{2^n}$ как ты писала равна $S_n$ = $\frac{-n +2^(n+1) - 2}{2^n}$. Находим предел этой суммы при n -> ∞ $\lim_{n \to \infty} \frac{-n + 2^(n+1) - 2}{2^n}$ = 2. Но так как первый член нашего ряда равен 1 / 2 = 0.5 но нужно начать с 1, то ответ будет равняться 2 + 0.5 = 2.5

Answer 2

Данное выражение S является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Давайте рассмотрим его более подробно.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия имеет вид:

S = a₁ + a₂ + a₃ + ...

где a₁, a₂, a₃, ... - члены прогрессии, а S - сумма этой прогрессии. Каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего члена на постоянное число q, называемое знаменателем прогрессии:

q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = ...

Решение задачи

В данном случае, наша геометрическая прогрессия имеет вид:

S = 2 * (1/2) * (1 + 2 * (1 / (2^2)) + 3 * (1 / (2^3)) + 4 * (1 / (2^4)) + 5 * (1 / (2^5)) + ... + ∞ / (2^∞))

Мы можем выразить каждый член прогрессии в виде степени 1/2:

S = 2 * (1/2) * (1 + 2 * (1 / (2^2)) + 3 * (1 / (2^3)) + 4 * (1 / (2^4)) + 5 * (1 / (2^5)) + ... + ∞ / (2^∞)) = 2 * (1/2) * (1 + 2 * (1 / (2^2)) + 3 * (1 / (2^3)) + 4 * (1 / (2^4)) + 5 * (1 / (2^5)) + ... + n * (1 / (2^n)) + ...)

Теперь мы можем переписать S в следующем виде:

S = 2 * (1/2) * (1 + 2 * (1