Question

Sin 6x sin 2x=sin 3x sin 5x

Answer 1

1/2(cos4x - cos 8x) = 1/2( cos 2x - cos 8x)
cos 4x - cos 8x + cos 8x - cos 2x=0
cos 4x - cos 2x=0
-2 sin 3x sin x=0
sin 3x=0    sin x=0
3x= Пи n        x = Пи n
x= Пи/3 n          x= Пи n
или в градусах
x= 60 градусов * n      x= 180 градусов * n

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

\[ \sin(6x) + \sin(2x) = \sin(3x) + \sin(5x) \]

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Используем следующее тождество для синуса суммы двух углов:

\[ \sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \]

Применим это тождество к уравнению:

\[ \sin(6x) + \sin(2x) = 2 \sin\left(\frac{6x+2x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) \]

Упростим выражение:

\[ \sin(6x) + \sin(2x) = 2 \sin(4x) \cos(2x) \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ 2 \sin(4x) \cos(2x) = \sin(3x) + \sin(5x) \]

Теперь воспользуемся тем, что \(\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\) еще раз:

\[ 2 \sin(4x) \cos(2x) = 2 \sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) \]

Упростим:

\[ 2 \sin(4x) \cos(2x) = 2 \sin(4x) \cos(x) \]

Теперь, если у нас есть уравнение вида \(A \cdot B = C \cdot D\), то мы можем разделить обе стороны на одно из слагаемых и решить полученное уравнение:

\[ \cos(2x) = \cos(x) \]

Теперь рассмотрим возможные значения \(x\). Для этого воспользуемся тригонометрическими свойствами:

\[ \cos(2x) = \cos(x) \]

\[ \cos(2x) - \cos(x) = 0 \]

Используем разность косинусов:

\[ 2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь проведем факторизацию:

\[ (2\cos(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0 \]

Отсюда получаем два уравнения:

\[ 2\cos(x) + 1 = 0 \] или \[ \cos(x) - 1 = 0 \]

Решим каждое из них:

1. \[ 2\cos(x) + 1 = 0 \] \[ 2\cos(x) = -1 \] \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \]

Так как \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) находится в первом и четвертом квадрантах, значения \(x\), удовлетворяющие условию, будут:

\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \]

2. \[ \cos(x) - 1 = 0 \] \[ \cos(x) = 1 \]

Это уравнение имеет решение \[ x = 2\pi k \], где \( k \) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \[ \sin(6x) + \sin(2x) = \sin(3x) + \sin(5x) \] это:

\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = 2\pi k \]

где \( k \) - целое число.