Question

Решить на множестве комплексных чисел

Answer 1

Уравнение 4 степени вида A*x⁴+B*x³+C*x²+B*x+A=0 называется возвратным. Данное уравнение как раз такое. Так как значение x=0 не является его решением, то уравнение можно разделить на z², и получится равносильное уравнение 9*z²-24*z-2-24/z+9/z²=
9*(z²+1/z²)-24*(z+1/z)-2=0. Положим y=z+1/z, тогда y²=z²+2+1/z², откуда
z²+1/z²=y²-2. Тогда уравнение примет вид 9*(y²-2)-24*y-2=9*y²-24*y-20=0. Дискриминант D=(-24)²-4*9*(-20)=1296=36².Тогда y1=(24+36)/18=10/3, y2=(24-36)/18=-2/3. Таким образом, для нахождения z нужно решить 2 уравнения:

z+1/z=10/3
z+1/z=-2/3

Решаем первое уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=10*z, или 3*z²-10*z+3=0. Дискриминант D=(-10)²-4*3*3=64=8². Тогда z1=(10+8)/6=3, z2=(10-8)/6=1/3.

Решаем второе уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=-2*z, или 3*z²+2*z+3=0. Дискриминант D=(2)²-4*3*3=-32=(i*√32)², где i=√-1. Тогда z3=(-2+i*√32)/6=-1/3+i*√32/6,  z4=(-2-i*√32)/6=-1/3-i*√32/6.

Ответ: z1=3, z2=1/3, z3=-1/3+i*√32/6, z4=-1/3-i*√32/6.

Answer 2

Решение уравнений и систем уравнений на множестве комплексных чисел осуществляется точно так же, как и на множестве действительных чисел, с учетом особенностей комплексных чисел.

Комплексное число представляется в виде a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, которая определяется свойством i^2 = -1.

1. Решение уравнений на множестве комплексных чисел: - Линейное уравнение вида ax + b = 0, где a и b - комплексные числа, решается аналогично уравнению на множестве действительных чисел: x = -b/a. - Квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - комплексные числа, решается с использованием дискриминанта D = b^2 - 4ac, и формулы корней: x = (-b ± √D) / (2a). Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень; если D < 0, то уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня.

2. Решение систем уравнений на множестве комплексных чисел: - Система линейных уравнений решается аналогично системе на множестве действительных чисел, используя методы элиминации и подстановки. - Система квадратных уравнений может быть решена с использованием методов элиминации и подстановки, либо с использованием матричных операций.

Пример: Рассмотрим систему уравнений на множестве комплексных чисел: { x + y = 3 { x - iy = 2

Выберем метод подстановки и решим систему: Подставим x из второго уравнения в первое: (2 + iy) + y = 3 2 + 2y + iy = 3 2 + 2y + iy - 3 = 0 2y + iy - 1 = 0 y(2 + i) - 1 = 0

Таким образом, получаем значение y: y = 1 / (2 + i)

Подставим найденное значение y в первое уравнение: x + 1 / (2 + i) = 3 x(2 + i) + 1 = 3(2 + i) 2x + ix + 1 = 6 + 3i (2 + i)x + 1 = 6 + 3i (2 + i)x = 5 + 3i x = (5 + 3i) / (2 + i)

Таким образом, получаем значения x и y на множестве комплексных чисел.