Question

Найдите решение уравнения tg(х+π/4)= 1 Решите уравнение (tgх + 6)(3сtgх-√3 ) = 0 Вычислите: 3arcsin(√2/2)+2arccos1/2 - 4arctg1 Найдите корни уравнения -2sin^2⁡х + 7sin⁡х cos⁡х + 4cos^2⁡х = 0CРОЧНО !!!

Answer 1

1)
$tg(x+ \frac{ \pi} {4} )= 1$
$x+ \frac{ \pi} {4} = \frac{ \pi }{4} + \pi k,$ $k$ ∈ $Z$
$x = \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

2)
$(tgx + 6)(3ctgx- \sqrt{3} ) = 0$
$tgx + 6= 0$                           или     $3ctgx- \sqrt{3} = 0$
$tgx=-6$                               или      $ctgx= \frac{ \sqrt{3}} {3}$
$x=-arctg6+ \pi k,$ $k$ ∈ $Z$     или     $x=arcctg \frac{\sqrt{3} }{3} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$
                                                          $x= \frac{ \pi }{3} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

3)
$3arcsin\frac{ \sqrt{2} }{2} +2arccos \frac{1}{2} - 4arctg1=3* \frac{ \pi} {4} +2* \frac{ \pi} {3} -4* \frac{ \pi} {4} = \frac{ 3\pi} {4}+ \frac{2 \pi} {3} - \pi=$$= \frac{ 9\pi} {12}+ \frac{8 \pi} {12} - \pi = \frac{17 \pi }{12} - \frac{12 \pi }{12} = \frac{5 \pi }{12}$

4)
$-2sin^2x + 7sinx*cosx + 4cos^2x = 0$
разделим почленно на cos²x ≠ 0
$-2tg^2x + 7tgx + 4 = 0$
$2tg^2x - 7tgx - 4 = 0$
Замена:  $tgx=a$
$2a^2 - 7a - 4 = 0$
$D=(-7)^2-4*2*(-4)=49+32=81$
$a_1= \frac{7+9}{4} =4$
$a_2= \frac{7-9}{4} =-0.5$
$tgx=4$                                 или       $tgx=-0.5$
$x=arctg4+ \pi k,$ $k$ ∈ $Z$       или       $x=-arctg0.5+ \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждое из уравнений.

1. Уравнение \( \tan(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \):

Мы знаем, что \( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \), поэтому у нас есть \( x + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{4} \), где \( n \) - целое число.

Решение: \( x = n\pi \).

2. Уравнение \( (\tan(x) + 6)(3\cot(x) - \sqrt{3}) = 0 \):

Разложим уравнение на два множителя и решим каждое отдельно:

- \( \tan(x) + 6 = 0 \) имеет решение \( x = \arctan(-6) + n\pi \), где \( n \) - целое число. - \( 3\cot(x) - \sqrt{3} = 0 \) можно записать как \( \cot(x) = \frac{\sqrt{3}}{3} \), что эквивалентно \( \tan(x) = \sqrt{3} \). Решение этого уравнения \( x = \frac{\pi}{6} + n\pi \), где \( n \) - целое число.

Таким образом, решения уравнения \( (\tan(x) + 6)(3\cot(x) - \sqrt{3}) = 0 \) будут \( x = \arctan(-6) + n\pi \) и \( x = \frac{\pi}{6} + n\pi \), где \( n \) - целое число.

3. \( 3\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\arccos(\frac{1}{2}) - 4\arctan(1) \):

Используем известные значения арктангенса, арксинуса и арккосинуса:

- \( \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} \) - \( \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} \) - \( \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \)

Подставим значения и вычислим:

\( 3 \cdot \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{12} \).

4. Уравнение \( -2\sin^2(x) + 7\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x) = 0 \):

Раскроем уравнение с использованием тригонометрических тождеств и сведем его к квадратному уравнению относительно \( \sin(x) \):

\[ -2(1 - \cos^2(x)) + 7\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x) = 0 \]

Заменим \( \sin(x) \) на \( \sqrt{1 - \cos^2(x)} \):

\[ -2(1 - \cos^2(x)) + 7\sqrt{1 - \cos^2(x)}\cos(x) + 4\cos^2(x) = 0 \]

Это уравнение можно решить численно или графически. Решение может быть сложным в аналитической форме.

Ответ:

- Решение уравнения \( \tan(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \): \( x = n\pi \). - Решение уравнения \( (\tan(x) + 6)(3\cot(x) - \sqrt{3}) = 0 \): \( x = \arctan(-6) + n\pi \) и \( x = \frac{\pi}{6} + n\pi \). - Вычисление выражения \( 3\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\arccos(\frac{1}{2}) - 4\arctan(1) \): \(-\frac{\pi}{12}\). - Решение уравнения \( -2\sin^2(x) + 7\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x) = 0 \): Решение численное и может быть сложным в аналитической форме.