Question

Sin3a +sin6a+ sin9a +sin12a

Answer 1

Sin 3a + Sin 6a +Sin 9a + Sin 12a = 2Sin 7,5 aCos4,5a + 2Sin7,5 aCos1,5 a=
= 2Sin7,5 a(Cos 4,5 a + Cos 1,5 a) = 2Sin 7,5 a·2Cos 3a Cos1,5 a=
= 4 Sin 7,5 a Cos 3a Cos 1,5a

Answer 2

Да, конечно. Рассмотрим выражение \(\sin(3a) + \sin(6a) + \sin(9a) + \sin(12a)\). Для решения этого выражения воспользуемся некоторыми тригонометрическими свойствами.

1. Сумма углов: \[\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\]

2. Разность углов: \[\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\]

3. Преобразование синуса суммы в произведение: \[\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)\]

Теперь воспользуемся этими свойствами для упрощения выражения.

\[\sin(3a) + \sin(6a) + \sin(9a) + \sin(12a)\]

1. Разложим \(\sin(6a)\) как \(\sin(3a + 3a)\):

\[\sin(3a) + 2\sin(3a)\cos(3a) + \sin(9a) + \sin(12a)\]

2. Теперь разложим \(\sin(12a)\) как \(\sin(9a + 3a)\):

\[\sin(3a) + 2\sin(3a)\cos(3a) + \sin(9a) + 2\sin(9a)\cos(3a)\]

3. Теперь объединим похожие члены:

\[\sin(3a) + \sin(9a) + 2\sin(3a)\cos(3a) + 2\sin(9a)\cos(3a)\]

4. Разложим \(\sin(9a)\) как \(\sin(3a + 6a)\):

\[\sin(3a) + \sin(3a + 6a) + 2\sin(3a)\cos(3a) + 2\sin(3a + 6a)\cos(3a)\]

5. Снова объединим похожие члены:

\[\sin(3a) + \sin(9a) + 2\sin(3a)\cos(3a) + 2\sin(9a)\cos(3a)\]

6. Разложим \(\sin(9a)\) как \(\sin(6a + 3a)\):

\[\sin(3a) + \sin(6a + 3a) + 2\sin(3a)\cos(3a) + 2\sin(6a + 3a)\cos(3a)\]

7. Опять объединим похожие члены:

\[\sin(3a) + \sin(6a) + 2\sin(3a)\cos(3a) + 2\sin(6a)\cos(3a)\]

8. Разложим \(2\sin(3a)\cos(3a)\) как \(\sin(6a)\):

\[\sin(3a) + \sin(6a) + \sin(6a) + 2\sin(6a)\cos(3a)\]

9. И снова объединим похожие члены:

\[ \sin(3a) + 2\sin(6a) + 2\sin(6a)\cos(3a)\]

Таким образом, выражение упрощается до \(\sin(3a) + 2\sin(6a) + 2\sin(6a)\cos(3a)\).