Question

Вася проводит на плоскости прямые так, что никакие две из них не проходят через одну точку. Он хочет, чтобы все треугольники, образованные этими прямыми, были тупоугольными. Какое наибольшее число прямых можно провести?

Answer 1

Ответ: Сколько угодно!

Answer 2

Для того чтобы все треугольники, образованные прямыми, были тупоугольными, необходимо, чтобы все углы, образованные этими прямыми, были больше 90 градусов.

На плоскости существует правило, согласно которому сумма углов в каждой вершине треугольника должна быть равна 180 градусов. Если угол в вершине больше 90 градусов, то сумма остальных двух углов меньше 90 градусов.

Поэтому, чтобы получить тупоугольный треугольник, один из углов треугольника должен быть больше 90 градусов, а остальные два угла должны быть меньше 90 градусов. Такие треугольники называются тупоугольными.

Таким образом, чтобы удовлетворить условию задачи, каждая прямая должна пересекаться с каждой другой прямой так, чтобы образовывать тупоугольный треугольник.

Наибольшее число прямых, которые можно провести в таком случае, можно рассчитать следующим образом:

Количество треугольников, образованных n прямыми, равно C(n,3), где C(n,3) - количество комбинаций из n элементов по 3 элемента (число троек прямых из n).

Рассчитаем это значение для разных значений n:

n = 2: C(2,3) = 0 (нельзя образовать треугольник из 2 прямых) n = 3: C(3,3) = 1 (треугольник) n = 4: C(4,3) = 4 (четыре треугольника) n = 5: C(5,3) = 10 (десять треугольников) n = 6: C(6,3) = 20 (двадцать треугольников)

Таким образом, наибольшее число прямых, которые можно провести, чтобы все треугольники были тупоугольными, равно 6.